同济高数 第4章 第4-3-5题
📝 题目
5． $\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x $$ 使用分部积分法，公式为： $$ \displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u $$ 令 $$ u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = x^{2} \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = \displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} $$ 代入分部积分公式： $$ \displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x $$ 化简第二项： $$ = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x $$ 计算积分： $$ \displaystyle{\int} x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} $$ 所以结果为： $$ \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C $$ 因此： $$ \boxed{\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C} $$
难度：★☆☆☆☆