同济高数 第4章 第4-3-6题

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int e^{-x} \cos x \, dx $$

这是一个典型的分部积分循环型积分。设： $$ I = \int e^{-x} \cos x \, dx $$

使用分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

令： $$ u = \cos x, \quad dv = e^{-x} dx $$ 则： $$ du = -\sin x \, dx, \quad v = -e^{-x} $$

于是： $$ I = \cos x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx $$ $$ = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx $$

现在对 $\int e^{-x} \sin x \, dx$ 再次分部积分。令： $$ u = \sin x, \quad dv = e^{-x} dx $$ 则： $$ du = \cos x \, dx, \quad v = -e^{-x} $$

于是： $$ \int e^{-x} \sin x \, dx = \sin x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx $$ $$ = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx $$

代回原式： $$ I = -e^{-x} \cos x - \left( -e^{-x} \sin x + I \right) $$ $$ I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I $$

移项： $$ 2I = e^{-x} (\sin x - \cos x) $$

因此： $$ I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C $$

最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C} $$

难度：★★☆☆☆