同济高数 第4章 第4-3-7题

教材习题

📝 题目

7． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2 x} \sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$ 这是一个指数函数与三角函数的乘积积分，常用分部积分法或待定系数法。

**解法：分部积分法（两次）**

设： $$ I = \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$

第一次分部积分，令： $$ u = \sin\frac{x}{2}, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} \, dx, \quad v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$ 于是： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) \cdot \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} \, dx $$ 即： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \int e^{-2x} \cos\frac{x}{2} \, dx $$

记： $$ J = \int e^{-2x} \cos\frac{x}{2} \, dx $$ 对 $J$ 再次分部积分，令： $$ u = \cos\frac{x}{2}, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = -\frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} \, dx, \quad v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$ 于是： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2} \sin\frac{x}{2}\right) dx $$ 即： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$ 注意最后一项正是 $-\frac{1}{4} I$。

因此： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} I $$

代回 $I$ 的表达式： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} I \right) $$ 即： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \frac{1}{8} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{16} I $$

移项： $$ I + \frac{1}{16} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \frac{1}{8} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} $$ $$ \frac{17}{16} I = - e^{-2x} \left( \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} \right) $$

两边乘以 $\frac{16}{17}$： $$ I = -\frac{16}{17} e^{-2x} \left( \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} \right) + C $$

化简括号内： $$ \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} = \frac{4}{8} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{8} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) $$

因此： $$ I = -\frac{16}{17} e^{-2x} \cdot \frac{1}{8} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) + C $$ $$ I = -\frac{2}{17} e^{-2x} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) + C $$

最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle -\frac{2}{17} e^{-2x} \left(4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) + C} $$

难度评级：★★☆☆☆ （属于常规分部积分，需两次分部并解方程，但步骤清晰，计算量适中）

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：设原积分为 I，并应用分部积分法
设 I = ∫ e^{-2x} sin(x/2) dx。令 u = sin(x/2), dv = e^{-2x} dx，则 du = (1/2) cos(x/2) dx, v = -1/2 e^{-2x}。由分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du，得 I = -1/2 e^{-2x} sin(x/2) + 1/4 ∫ e^{-2x} cos(x/2) dx。记 J = ∫ e^{-2x} cos(x/2) dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u 和 dv 时，通常将指数函数放入 dv，因为指数函数积分容易。
步骤 2/4
目标：对 J 再次应用分部积分法
对 J = ∫ e^{-2x} cos(x/2) dx，令 u = cos(x/2), dv = e^{-2x} dx，则 du = -1/2 sin(x/2) dx, v = -1/2 e^{-2x}。于是 J = -1/2 e^{-2x} cos(x/2) - 1/4 ∫ e^{-2x} sin(x/2) dx = -1/2 e^{-2x} cos(x/2) - 1/4 I。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意第二次分部积分后出现了原积分 I，为解方程做准备。
步骤 3/4
目标：将 J 代入 I 的表达式并解方程
将 J 代入 I = -1/2 e^{-2x} sin(x/2) + 1/4 J，得 I = -1/2 e^{-2x} sin(x/2) + 1/4 (-1/2 e^{-2x} cos(x/2) - 1/4 I) = -1/2 e^{-2x} sin(x/2) - 1/8 e^{-2x} cos(x/2) - 1/16 I。移项得 I + 1/16 I = -1/2 e^{-2x} sin(x/2) - 1/8 e^{-2x} cos(x/2)，即 (17/16) I = -e^{-2x} (1/2 sin(x/2) + 1/8 cos(x/2))。两边乘以 16/17 得 I = -16/17 e^{-2x} (1/2 sin(x/2) + 1/8 cos(x/2)) + C。
公式：解方程：I + (1/16)I = (17/16)I
提示：注意常数 C 在最后加上。
步骤 4/4
目标：化简结果
化简括号内：1/2 sin(x/2) + 1/8 cos(x/2) = (4/8) sin(x/2) + 1/8 cos(x/2) = 1/8 (4 sin(x/2) + cos(x/2))。因此 I = -16/17 e^{-2x} * 1/8 (4 sin(x/2) + cos(x/2)) + C = -2/17 e^{-2x} (4 sin(x/2) + cos(x/2)) + C。
公式：无
提示：最终结果可写成 -2/17 e^{-2x} (4 sin(x/2) + cos(x/2)) + C。

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