同济高数 第4章 第4-3-8题
📝 题目
8． $\displaystyle{\int} x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分： $$ \int x \cos \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$ 使用分部积分法。设 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \int \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = 2\sin\frac{x}{2} $$ 由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得 $$ \int x \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = x \cdot 2\sin\frac{x}{2} - \int 2\sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$ 即 $$ = 2x\sin\frac{x}{2} - 2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$ 而 $$ \int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = -2\cos\frac{x}{2} + C $$ 因此 $$ = 2x\sin\frac{x}{2} - 2\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) + C $$ $$ = 2x\sin\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2} + C $$
最终结果为： $$ \boxed{2x\sin\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2} + C} $$
难度：★☆☆☆☆ （仅需一次分部积分，且三角函数积分简单）