同济高数 第4章 第4-4-13题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{-x^{2}-2}{(x^{2}+x+1)^{2}} \, dx $$

**第一步：分析被积函数形式** 分母是二次多项式的平方，分子是二次多项式，可以考虑将分子写成分母的导数乘以某个系数再加上一个常数项，以便拆分为可积分的形式。

设： $$ \frac{d}{dx}(x^{2}+x+1) = 2x+1 $$ 我们尝试将分子 $-x^{2}-2$ 表示为： $$ A(2x+1) + B $$ 乘以某个因子，并考虑分母平方的积分公式。

更系统的方法是使用“分部积分”或“待定系数法”将积分拆分为： $$ \int \frac{ax+b}{x^{2}+x+1} \, dx + \int \frac{cx+d}{(x^{2}+x+1)^{2}} \, dx $$ 但这里分子次数与分母次数差为2，更适合直接采用“凑微分+公式”法。

**第二步：拆分被积函数** 注意到： $$ \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{2}+x+1} \right) = -\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} $$ 因此我们尝试将分子写成： $$ -x^{2}-2 = \alpha (2x+1) + \beta (x^{2}+x+1) + \gamma $$ 但这样会引入二次项，更合适的方法是设： $$ -x^{2}-2 = A(2x+1) + B(x^{2}+x+1) + C $$ 比较系数： 右边展开： $A(2x+1) = 2A x + A$ $B(x^{2}+x+1) = Bx^{2} + Bx + B$ 加上常数C，得： $$ Bx^{2} + (2A + B)x + (A + B + C) $$ 与左边 $-x^{2} + 0x -2$ 比较： $$ B = -1 $$ $$ 2A + B = 0 \quad\Rightarrow\quad 2A -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{2} $$ $$ A + B + C = -2 \quad\Rightarrow\quad \frac12 -1 + C = -2 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3}{2} $$

因此： $$ -x^{2}-2 = \frac12(2x+1) - (x^{2}+x+1) - \frac32 $$

**第三步：代入积分并拆分** 原积分： $$ \int \frac{-x^{2}-2}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx = \int \frac{\frac12(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx - \int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx - \int \frac{\frac32}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx $$ 化简： $$ = \frac12 \int \frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx - \int \frac{1}{x^{2}+x+1} dx - \frac32 \int \frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx $$

**第四步：分别积分** 第一项： 令 $u = x^{2}+x+1$，则 $du = (2x+1)dx$，所以 $$ \frac12 \int \frac{du}{u^{2}} = \frac12 \cdot \left( -\frac{1}{u} \right) = -\frac{1}{2(x^{2}+x+1)} $$

第二项： 配方： $$ x^{2}+x+1 = \left(x+\frac12\right)^{2} + \frac34 $$ 所以 $$ \int \frac{1}{x^{2}+x+1} dx = \int \frac{1}{\left(x+\frac12\right)^{2} + \frac34} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) $$

第三项： 使用公式： $$ \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}} dx = \frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}} \arctan\frac{x}{a} + C $$ 这里令 $t = x+\frac12$，则分母为 $t^{2} + \frac34$，即 $a^{2} = \frac34$，$a = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

于是： $$ \int \frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}} dt = \frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}} \arctan\frac{t}{a} $$ 代入 $a^{2} = \frac34$，$a^{3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$： $$ = \frac{t}{2\cdot \frac34 \cdot (t^{2}+\frac34)} + \frac{1}{2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}} \arctan\frac{t}{\sqrt{3}/2} $$ $$ = \frac{t}{\frac32 (t^{2}+\frac34)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) $$ $$ = \frac{2t}{3(t^{2}+\frac34)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) $$ 代回 $t = x+\frac12$： $$ = \frac{2(x+\frac12)}{3\left((x+\frac12)^{2}+\frac34\right)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) $$ 注意分母 $(x+\frac12)^{2}+\frac34 = x^{2}+x+1$，所以： $$ = \frac{2x+1}{3(x^{2}+x+1)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) $$

因此第三项乘以 $-\frac32$ 得： $$ -\frac32 \cdot \left[ \frac{2x+1}{3(x^{2}+x+1)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right] = -\frac{2x+1}{2(x^{2}+x+1)} - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} $$

**第五步：合并结果** 原积分 = 第一项 + 第二项（取负号） + 第三项结果： $$ -\frac{1}{2(x^{2}+x+1)} - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} - \frac{2x+1}{2(x^{2}+x+1)} + C $$ 合并前两项分式： $$ -\frac{1 + (2x+1)}{2(x^{2}+x+1)} = -\frac{2x+2}{2(x^{2}+x+1)} = -\frac{x+1}{x^{2}+x+1} $$ 所以最终： $$ \boxed{-\frac{x+1}{x^{2}+x+1} - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C} $$

难度：★★★★☆