同济高数 第4章 第4-4-19题

教材习题

📝 题目

19． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}. $$

**步骤1：换元** 令 $$ t = \sqrt[3]{x+1} \quad \Rightarrow \quad t^3 = x+1, $$ 则 $$ dx = 3t^2 \, dt. $$ 代入原积分得： $$ \int \frac{3t^2}{1+t} \, dt. $$

**步骤2：多项式除法化简** 由于被积函数是假分式，做除法： $$ \frac{3t^2}{1+t} = 3\left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right). $$ 验证： $$ (t-1)(1+t) = t^2 - 1, \quad 加上1得 t^2, $$ 所以正确。

**步骤3：积分** 于是 $$ \int \frac{3t^2}{1+t} dt = 3 \int \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt = 3\left( \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| \right) + C. $$

**步骤4：回代** 由 $ t = \sqrt[3]{x+1} $，得 $$ \int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} = \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C. $$

因此最终结果为： $$ \boxed{\frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C}. $$

难度：★☆☆☆☆（简单换元积分，计算量小）

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：换元简化积分
令 t = ∛(x+1)，则 t³ = x+1，dx = 3t² dt。代入原积分得 ∫ 3t²/(1+t) dt。
公式：t = ∛(x+1), dx = 3t² dt
提示：选择根式整体作为新变量，简化被积函数。
步骤 2/4
目标：多项式除法化简被积函数
对 3t²/(1+t) 进行多项式除法：3t²/(1+t) = 3(t - 1 + 1/(1+t))。
公式：3t²/(1+t) = 3(t - 1 + 1/(1+t))
提示：假分式先化为整式与真分式之和，便于积分。
步骤 3/4
目标：积分
∫ 3(t - 1 + 1/(1+t)) dt = 3(∫ t dt - ∫ 1 dt + ∫ 1/(1+t) dt) = 3(t²/2 - t + ln|1+t|) + C。
公式：∫ t dt = t²/2, ∫ 1 dt = t, ∫ 1/(1+t) dt = ln|1+t|
提示：注意绝对值，因为对数真数需为正。
步骤 4/4
目标：回代变量
将 t = ∛(x+1) 代入，得 3/2 (x+1)^(2/3) - 3∛(x+1) + 3ln|1+∛(x+1)| + C。
公式：t² = (x+1)^(2/3)
提示：回代时注意指数运算。

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