同济高数 第4章 第4-4-22题

教材习题

📝 题目

22． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**题目**：求不定积分 $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}. $$

**解**： 被积函数中含有根式 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt[4]{x}$，它们的最小公倍数为 $4$，因此令 $$ t = \sqrt[4]{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^4,\quad \mathrm{d}x = 4t^3\,\mathrm{d}t. $$ 代入原积分得 $$ \displaystyle{\int} \frac{4t^3}{t^2 + t}\,\mathrm{d}t = 4\displaystyle{\int} \frac{t^3}{t(t+1)}\,\mathrm{d}t = 4\displaystyle{\int} \frac{t^2}{t+1}\,\mathrm{d}t. $$

对 $\displaystyle \frac{t^2}{t+1}$ 进行多项式除法： $$ t^2 = (t+1)(t-1) + 1, $$ 所以 $$ \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}. $$ 于是积分化为 $$ 4\displaystyle{\int} \left(t - 1 + \frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t = 4\left( \frac{t^2}{2} - t + \ln|t+1| \right) + C. $$

将 $t = \sqrt[4]{x}$ 代回，得 $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln(\sqrt[4]{x}+1) + C. $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察根式代换与多项式除法，计算量小，思路直接）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：进行根式代换，令 t = x^(1/4)
被积函数含有 √x 和 x^(1/4)，最小公倍数为4，令 t = x^(1/4)，则 x = t^4，dx = 4t^3 dt。
公式：t = x^{1/4}, x = t^4, dx = 4t^3 dt
提示：选择代换变量时，取根指数的最小公倍数。
步骤 2/5
目标：代入并化简被积函数
代入得 ∫ (4t^3)/(t^2 + t) dt = 4∫ t^2/(t+1) dt。
公式：∫ (4t^3)/(t^2+t) dt = 4∫ t^2/(t+1) dt
提示：注意约去公因子 t。
步骤 3/5
目标：对有理函数进行多项式除法
t^2/(t+1) = t - 1 + 1/(t+1)。
公式：t^2/(t+1) = t - 1 + 1/(t+1)
提示：多项式除法：t^2 除以 t+1 得商 t-1，余数1。
步骤 4/5
目标：积分
4∫ (t - 1 + 1/(t+1)) dt = 4( t^2/2 - t + ln|t+1| ) + C。
公式：∫ t dt = t^2/2, ∫ 1 dt = t, ∫ 1/(t+1) dt = ln|t+1|
提示：注意绝对值。
步骤 5/5
目标：回代变量
将 t = x^(1/4) 代回，得 2√x - 4x^(1/4) + 4ln(x^(1/4)+1) + C。
公式：t^2 = √x, t = x^{1/4}
提示：化简结果。

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