同济高数 第4章 第4-4-23题

[AI解答]

[AI解答]

我们需要计算不定积分： $$ \displaystyle{\int} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{\mathrm{~d} x}{x}. $$

**第一步：化简被积函数** 将根式部分有理化，令 $$ t = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}. $$ 则 $$ t^2 = \frac{1-x}{1+x} \quad \Rightarrow \quad t^2(1+x) = 1-x. $$ 整理得 $$ t^2 + t^2 x = 1 - x \quad \Rightarrow \quad t^2 x + x = 1 - t^2, $$ $$ x(1 + t^2) = 1 - t^2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}. $$

**第二步：求微分** 对 $x$ 关于 $t$ 求导： $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{(-2t)(1+t^2) - (1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t - 2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}. $$ 因此 $$ \mathrm{d}x = \frac{-4t}{(1+t^2)^2} \mathrm{d}t. $$

**第三步：代入原积分** 原积分为 $$ \displaystyle{\int} t \cdot \frac{1}{x} \cdot \mathrm{d}x = \displaystyle{\int} t \cdot \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^2} \mathrm{d}t. $$ 化简： $$ = \displaystyle{\int} \frac{-4t^2}{(1 - t^2)(1 + t^2)} \mathrm{d}t = -4 \displaystyle{\int} \frac{t^2}{1 - t^4} \mathrm{d}t. $$

**第四步：分解为部分分式** 由于 $$ \frac{t^2}{1 - t^4} = \frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)}, $$ 可设 $$ \frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+t^2}. $$ 但更简便的方法是注意到 $$ \frac{t^2}{1 - t^4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right), $$ 因为 $$ \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} = \frac{(1+t^2) - (1-t^2)}{1 - t^4} = \frac{2t^2}{1-t^4}. $$ 所以 $$ \frac{t^2}{1-t^4} = \frac12 \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right). $$

**第五步：积分** 于是 $$ -4 \displaystyle{\int} \frac{t^2}{1-t^4} \mathrm{d}t = -4 \cdot \frac12 \displaystyle{\int} \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t = -2 \displaystyle{\int} \frac{1}{1-t^2} \mathrm{d}t + 2 \displaystyle{\int} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t. $$ 而 $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{1-t^2} \mathrm{d}t = \frac12 \ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C, $$ $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t = \arctan t + C. $$ 因此 $$ 原式 = -2 \cdot \frac12 \ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + 2 \arctan t + C = -\ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + 2 \arctan t + C. $$

**第六步：回代变量** 由 $ t = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} $，注意 $$ \frac{1+t}{1-t} = \frac{1 + \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}{1 - \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} = \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}. $$ 有理化后可得 $$ \frac{1+t}{1-t} = \frac{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})^2}{(1+x) - (1-x)} = \frac{1+x + 1-x + 2\sqrt{1-x^2}}{2x} = \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}. $$ 同时，$\arctan t = \arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。

因此最终结果为： $$ \boxed{-\ln\left| \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + 2 \arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + C}. $$

难度评级：★★★☆☆ （涉及根式代换、有理函数分解、反三角函数与对数积分技巧，步骤较多但思路常规）