同济高数 第4章 第4-4-3题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{x+1}{x^{2}-2x+5} \, dx $$

**第一步：配方分母** 分母 $x^{2} - 2x + 5$ 可以配方为： $$ x^{2} - 2x + 5 = (x-1)^{2} + 4 $$

**第二步：拆分分子** 将分子写成与分母导数相关形式。分母的导数为： $$ \frac{d}{dx}(x^{2} - 2x + 5) = 2x - 2 $$ 我们希望分子中出现 $2x-2$ 的形式。将分子 $x+1$ 改写为： $$ x+1 = \frac{1}{2}(2x-2) + 2 $$ 因为： $$ \frac{1}{2}(2x-2) = x - 1, \quad 再加上 2 得 x+1 $$

**第三步：分解积分** 于是原积分化为： $$ \int \frac{x+1}{(x-1)^{2}+4} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{(x-1)^{2}+4} \, dx + \int \frac{2}{(x-1)^{2}+4} \, dx $$

**第四步：分别积分** 第一项： $$ \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{(x-1)^{2}+4} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left| (x-1)^{2}+4 \right| + C_1 $$ 因为分母的导数正好是分子。

第二项： $$ \int \frac{2}{(x-1)^{2}+4} \, dx = 2 \int \frac{1}{(x-1)^{2}+2^{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C_2 = \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C_2 $$

**第五步：合并结果** 因此： $$ \int \frac{x+1}{x^{2}-2x+5} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left( x^{2} - 2x + 5 \right) + \arctan\left( \frac{x-1}{2} \right) + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。

**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基础配方法结合反正切与对数积分，步骤清晰，计算量小。）