同济高数 第4章 第4-5-5题
📝 题目
5． $\displaystyle{\int} \sqrt{3 x^{2}-2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x. $$
**第一步：提取常数并化为标准形式** 注意到 $$ \sqrt{3x^{2} - 2} = \sqrt{3} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}}. $$ 因此 $$ \displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{3} \displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \, \mathrm{d}x. $$
**第二步：使用积分公式** 回忆公式 $$ \displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - a^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} \right| + C. $$ 这里令 $ a^{2} = \frac{2}{3} $，即 $ a = \sqrt{\frac{2}{3}} $。
**第三步：代入公式** 于是 $$ \displaystyle{\int} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \, \mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C $$ $$ = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C. $$
**第四步：乘回常数 $\sqrt{3}$** 因此原积分为 $$ \displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| \right] + C. $$ 化简第一项： $$ \sqrt{3} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} = \frac{x}{2} \sqrt{3x^{2} - 2}. $$ 第二项： $$ \sqrt{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| = -\frac{\sqrt{3}}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C. $$
**最终结果** $$ \boxed{\displaystyle{\int} \sqrt{3x^{2} - 2} \, \mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{3x^{2} - 2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \ln\left| x + \sqrt{x^{2} - \frac{2}{3}} \right| + C}. $$
难度评级：★★☆☆☆ （属于常见二次根式积分，只需套用标准公式并稍作常数处理，步骤清晰，计算量不大。）