同济高数 第4章 第4-5-7题

教材习题

📝 题目

7． $\displaystyle{\int} x \arcsin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int x \arcsin \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$

**步骤1：令变量替换** 设 $$ t = \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 2t,\quad \mathrm{d}x = 2\,\mathrm{d}t $$ 代入原积分： $$ \int x \arcsin \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = \int (2t) \arcsin t \cdot 2 \, \mathrm{d}t = 4 \int t \arcsin t \, \mathrm{d}t $$

**步骤2：分部积分** 令 $$ u = \arcsin t,\quad \mathrm{d}v = t \, \mathrm{d}t $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t,\quad v = \frac{t^2}{2} $$ 由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得 $$ \int t \arcsin t \, \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} \arcsin t - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t $$

**步骤3：处理剩余积分** 计算 $$ \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t $$ 令 $t = \sin \theta$，则 $\mathrm{d}t = \cos \theta \, \mathrm{d}\theta$，且 $\sqrt{1-t^2} = \cos \theta$，于是 $$ \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t = \int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta \, \mathrm{d}\theta = \int \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\theta $$ 利用恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，得 $$ \int \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \left( \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) + C $$ 又 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 t \sqrt{1-t^2}$，且 $\theta = \arcsin t$，所以 $$ \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \arcsin t - \frac{t}{2} \sqrt{1-t^2} + C $$

**步骤4：代回分部积分结果** $$ \int t \arcsin t \, \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} \arcsin t - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \arcsin t - \frac{t}{2} \sqrt{1-t^2} \right) + C $$ 化简得 $$ \int t \arcsin t \, \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} \arcsin t - \frac{1}{4} \arcsin t + \frac{t}{4} \sqrt{1-t^2} + C $$ 合并 $\arcsin t$ 项： $$ = \frac{2t^2 - 1}{4} \arcsin t + \frac{t}{4} \sqrt{1-t^2} + C $$

**步骤5：代回原变量** 由 $t = \frac{x}{2}$，得 $$ \int x \arcsin \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = 4 \left[ \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1}{4} \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2}}{4} \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} \right] + C $$ 化简： $$ 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2},\quad \frac{x^2}{2} - 1 = \frac{x^2 - 2}{2} $$ 于是 $$ \frac{2t^2 - 1}{4} = \frac{x^2 - 2}{8} $$ 以及 $$ \frac{t}{4} \sqrt{1-t^2} = \frac{x}{8} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \frac{x}{8} \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{16} $$ 所以原积分乘以4后： $$ 4 \left( \frac{x^2 - 2}{8} \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{16} \right) + C = \frac{x^2 - 2}{2} \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{4} + C $$

**最终结果** $$ \boxed{\displaystyle \frac{x^2 - 2}{2} \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x}{4} \sqrt{4 - x^2} + C} $$

难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：变量替换简化积分
令 t = x/2，则 x = 2t，dx = 2 dt，代入原积分得 4∫ t arcsin t dt。
公式：t = x/2, x = 2t, dx = 2 dt
提示：变量替换后积分形式更简单，便于分部积分。
步骤 2/5
目标：分部积分处理∫ t arcsin t dt
设 u = arcsin t, dv = t dt，则 du = 1/√(1-t^2) dt, v = t^2/2。由分部积分公式得 ∫ t arcsin t dt = (t^2/2) arcsin t - (1/2)∫ t^2/√(1-t^2) dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u 为反三角函数，dv 为多项式，便于求导后简化。
步骤 3/5
目标：计算∫ t^2/√(1-t^2) dt
令 t = sinθ，则 dt = cosθ dθ，√(1-t^2)=cosθ，积分变为∫ sin^2θ dθ。利用倍角公式 sin^2θ = (1-cos2θ)/2，积分得 (1/2)(θ - (1/2)sin2θ) + C。代回 t 得 (1/2)arcsin t - (t/2)√(1-t^2) + C。
公式：t = sinθ, sin^2θ = (1-cos2θ)/2, sin2θ = 2t√(1-t^2)
提示：三角代换处理根号，注意代回原变量。
步骤 4/5
目标：代回分部积分结果并化简
将∫ t^2/√(1-t^2) dt 的结果代入分部积分表达式，得到 ∫ t arcsin t dt = (t^2/2) arcsin t - (1/2)[(1/2)arcsin t - (t/2)√(1-t^2)] + C = (2t^2-1)/4 arcsin t + (t/4)√(1-t^2) + C。
提示：合并同类项，注意符号。
步骤 5/5
目标：代回原变量 x 并乘以系数 4
将 t = x/2 代入，并乘以 4，得原积分 = 4[ (2(x/2)^2-1)/4 arcsin(x/2) + (x/2)/4 √(1-(x/2)^2) ] + C = (x^2-2)/2 arcsin(x/2) + (x/4)√(4-x^2) + C。
提示：化简时注意系数和根号的处理。

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