同济高数 第5章 第5-1-9题
📝 题目
9．证明定积分的性质： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$（ $k$ 是常数）； （2） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} 1 \cdot \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x=b-a$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明（1）** 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$k$ 为常数。 由定积分的定义，将区间 $[a,b]$ 任意分割为 $n$ 个小区间，取分点 $a=x_0 $$ \sum_{i=1}^{n} k f(\xi_i) \Delta x_i = k \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i, $$ 其中 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。 令 $\lambda = \max\limits_{1 \le i \le n} \Delta x_i$，取极限 $\lambda \to 0$，由极限运算法则及 $f$ 可积，得 $$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} k f(\xi_i) \Delta x_i = k \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = k \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x. $$ 而左端正是 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} k f(x) \, \mathrm{d}x$ 的积分和极限，因此 $$ \int_a^b k f(x) \, \mathrm{d}x = k \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x. $$ 证毕。 --- **证明（2）** 考虑被积函数 $f(x)=1$，在 $[a,b]$ 上显然可积。 取任意分割 $a=x_0 $$ \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_{i-1}) = b-a. $$ 该和与分割方式及 $\xi_i$ 的选取无关，恒等于 $b-a$。因此当 $\lambda \to 0$ 时极限仍为 $b-a$，即 $$ \int_a^b 1 \, \mathrm{d}x = b-a. $$ 证毕。 --- **难度评级**：★☆☆☆☆