同济高数 第5章 第5-2-4题
📝 题目
4．当 $x$ 为何值时，函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 有极值？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ I(x)=\int_{0}^{x} t e^{-t^{2}}\, dt $$ 的极值点。首先，由微积分基本定理， $$ I'(x)=x e^{-x^{2}}. $$ 令导数为零： $$ x e^{-x^{2}}=0. $$ 由于 $e^{-x^{2}}>0$ 对所有实数 $x$ 成立，因此 $$ x=0. $$ 再考察二阶导数判断极值类型。 $$ I''(x)= \frac{d}{dx}\left(x e^{-x^{2}}\right)= e^{-x^{2}} + x\cdot e^{-x^{2}}(-2x)= e^{-x^{2}}(1-2x^{2}). $$ 代入 $x=0$ 得 $$ I''(0)=1>0, $$ 所以 $x=0$ 是极小值点。
因此，当 $x=0$ 时函数 $I(x)$ 取得极小值，且极小值为 $$ I(0)=\int_{0}^{0} t e^{-t^{2}}\, dt =0. $$
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数 I'(x)
由微积分基本定理，对积分上限函数求导得 I'(x) = x e^{-x^2}。
公式：I'(x) = x e^{-x^2}
提示：注意被积函数为 t e^{-t^2}，代入上限 x 并乘以上限导数（此处为1）。
步骤 2/4
目标：令导数为零求驻点
解方程 x e^{-x^2} = 0，由于 e^{-x^2} > 0，得 x = 0。
公式：x e^{-x^2} = 0 ⇒ x = 0
提示：指数函数恒正，故只需令 x = 0。
步骤 3/4
目标：判断极值类型
求二阶导数 I''(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)，代入 x=0 得 I''(0)=1>0，故 x=0 为极小值点。
公式：I''(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)，I''(0)=1>0
提示：二阶导数大于0为极小值，小于0为极大值。
步骤 4/4
目标：计算极值
极小值为 I(0) = ∫_0^0 t e^{-t^2} dt = 0。
公式：I(0)=0
提示：积分上下限相等时积分值为0。
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