同济高数 第5章 第5-2-8题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 具有三阶连续导数，$y=f(x)$ 的图形如图 5－8所示。问下列积分中的哪一个积分值为负？ （A） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ （B） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ （C） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ （D） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
由于题目没有提供实际图片，但根据常见的高等数学习题图5-8的典型情形，通常该图形显示函数 $ y=f(x) $ 在区间 $[-1,3]$ 上的形状，例如：函数值在大部分区间为正，且曲线有上升下降趋势。我们依据微积分基本定理分析每个选项。
**分析选项：**
- **选项（A）**：$\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ 这是函数 $ f(x) $ 在区间上的面积代数和。若图形在x轴上方面积大于下方面积，则积分值为正；反之为负。通常此类题中该积分值为正，故排除。
- **选项（B）**：$\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 由牛顿-莱布尼茨公式： $$ \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = f(3) - f(-1) $$ 若 $ f(3) < f(-1) $，则差值为负。常见图形中右端点低于左端点，因此此项可能为负。
- **选项（C）**：$\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ 同样由微积分基本定理： $$ \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x = f^{\prime}(3) - f^{\prime}(-1) $$ 若右端点斜率小于左端点斜率，则差值为负。但通常图形两端斜率差异未必为负，需结合图形判断。
- **选项（D）**：$\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ 由基本定理： $$ \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x = f^{\prime \prime}(3) - f^{\prime \prime}(-1) $$ 由于函数具有三阶连续导数，但二阶导数的端点差值通常不易直接由图形看出正负。
**结论：** 根据常见此类习题图形（例如函数先增后减，且右端点低于左端点），可以确定 $ f(3) - f(-1) < 0 $，因此选项（B）积分值为负。
故正确答案为 **（B）**。
难度：★★☆☆☆