同济高数 第5章 第5-3-4题
📝 题目
4．证明： $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x \quad(m, n \in \mathbf{N})$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们证明对于任意自然数 $m, n$，有 $$ \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \, dx = \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \, dx. $$
**证明步骤**： 考虑左端积分 $$ I = \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \, dx. $$ 作变量代换：令 $t = 1 - x$，则当 $x = 0$ 时 $t = 1$，当 $x = 1$ 时 $t = 0$，且 $dx = -dt$。于是 $$ I = \int_{1}^{0} (1-t)^{m} \, t^{n} \, (-dt) = \int_{0}^{1} t^{n} (1-t)^{m} \, dt. $$ 将积分变量 $t$ 改记为 $x$，即得 $$ I = \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \, dx. $$ 因此等式成立。证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：证明积分等式
设 I = ∫₀¹ x^m (1-x)^n dx。作变量代换 t = 1 - x，则 x = 1 - t，dx = -dt。当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=0。代入得 I = ∫₁⁰ (1-t)^m t^n (-dt) = ∫₀¹ t^n (1-t)^m dt。将 t 改写成 x，即得 I = ∫₀¹ x^n (1-x)^m dx。
公式：∫₀¹ x^m (1-x)^n dx = ∫₀¹ x^n (1-x)^m dx
提示：注意积分限的变化和负号的处理。
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