同济高数 第6章 第6-2-19题

[AI解答]

[AI解答] 我们取底面圆的圆心为坐标原点，固定直径为 $x$ 轴方向，则底面圆方程为 $$ x^2 + y^2 = R^2. $$ 垂直于 $x$ 轴（即垂直于固定直径）的截面是一个等边三角形，该截面与底面圆的交线是一条平行于 $y$ 轴的线段，其长度为 $$ 2\sqrt{R^2 - x^2}. $$ 由于截面是等边三角形，且该线段为三角形的一条边，因此三角形的高为 $$ h(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{边长} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2}. $$ 于是截面面积 $$ A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{底边长} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} \cdot \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{3}\,(R^2 - x^2). $$ 立体体积通过对 $x$ 从 $-R$ 到 $R$ 积分得到： $$ V = \displaystyle{\int_{-R}^{R}} A(x)\,dx = \displaystyle{\int_{-R}^{R}} \sqrt{3}\,(R^2 - x^2)\,dx. $$ 由于被积函数是偶函数，可写为 $$ V = 2\sqrt{3} \displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx. $$ 计算积分： $$ \displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx = \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{R} = R^3 - \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3}R^3. $$ 因此 $$ V = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3}R^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3}R^3. $$

难度：★★☆☆☆