同济高数 第6章 第6-2-2题
📝 题目
2．求由下列各组曲线所围成的图形的面积： （1）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} 与 x^{2}+y^{2}=8$（两部分都要计算）； （2）$\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 与直线 $y=x$ 及 $x=2$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $x=1$ ； （4）$y=\ln x, y$ 轴与直线 $y=\ln a, y=\ln b(b\gt a\gt 0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线 $\displaystyle y=\frac12 x^2$ 与圆 $x^2+y^2=8$ 所围图形（两部分）
先求交点：将 $\displaystyle y=\frac12 x^2$ 代入 $x^2+y^2=8$ 得 $$ x^2+\frac14 x^4=8 \quad\Rightarrow\quad x^4+4x^2-32=0 $$ 令 $t=x^2\ge0$，则 $t^2+4t-32=0$，解得 $t=4$ 或 $t=-8$（舍去），故 $x=\pm2$，对应 $y=2$。
圆方程 $x^2+y^2=8$ 可写为 $y=\pm\sqrt{8-x^2}$。
**较小部分面积**（在抛物线上方、圆内）： 对称性，只算 $x\ge0$ 部分再乘2： $$ S_{\text{小}}=2\displaystyle\int_{0}^{2}\left[\sqrt{8-x^2}-\frac12 x^2\right]\,dx $$ 计算： $\displaystyle\int_0^2\sqrt{8-x^2}\,dx$ 用公式 $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$，此处 $a=2\sqrt2$，得 $$ \left[\frac{x}{2}\sqrt{8-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2\sqrt2}\right]_0^2 = \frac{2}{2}\sqrt{8-4}+4\arcsin\frac{2}{2\sqrt2} =2+4\arcsin\frac{1}{\sqrt2}=2+4\cdot\frac{\pi}{4}=2+\pi $$ 而 $\displaystyle\int_0^2\frac12 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2=\frac{8}{6}=\frac43$。 因此 $$ S_{\text{小}}=2\left[(2+\pi)-\frac43\right]=2\left(\pi+\frac23\right)=2\pi+\frac43 $$
**较大部分面积** = 圆面积减去小部分面积： 圆面积 $S_{\text{圆}}=\pi(8)=8\pi$，故 $$ S_{\text{大}}=8\pi-\left(2\pi+\frac43\right)=6\pi-\frac43 $$
答：较小部分面积 $2\pi+\dfrac43$，较大部分面积 $6\pi-\dfrac43$。
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**（2）** $\displaystyle y=\frac1x$ 与 $y=x$ 及 $x=2$
先求 $\displaystyle y=\frac1x$ 与 $y=x$ 的交点：$\displaystyle \frac1x=x\Rightarrow x^2=1$，在第一象限 $x=1$，$y=1$。 所围区域在 $x=1$ 到 $x=2$ 之间，上方为 $y=x$，下方为 $\displaystyle y=\frac1x$，故 $$ S=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x-\frac1x\right)dx =\left[\frac{x^2}{2}-\ln x\right]_{1}^{2} =\left(2-\ln2\right)-\left(\frac12-0\right)=\frac32-\ln2 $$
答：面积 $\dfrac32-\ln2$。
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**（3）** $y=e^x,\;y=e^{-x}$ 与直线 $x=1$
两指数函数交于 $x=0$ 处（$e^0=e^{-0}=1$）。 在区间 $[0,1]$ 上，$e^x\ge e^{-x}$，故 $$ S=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(e^x-e^{-x}\right)dx =\left[e^x+e^{-x}\right]_{0}^{1} =(e+e^{-1})-(1+1)=e+\frac1e-2 $$
答：面积 $e+\dfrac1e-2$。
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**（4）** $y=\ln x$，$y$ 轴与直线 $y=\ln a,\;y=\ln b$（$b>a>0$）
将 $y$ 视为自变量，$x=e^y$，积分限从 $y=\ln a$ 到 $y=\ln b$， $$ S=\displaystyle\int_{\ln a}^{\ln b} e^y\,dy =\left[e^y\right]_{\ln a}^{\ln b}=b-a $$
答：面积 $b-a$。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （均为标准定积分求面积，计算量小，思路直接）