同济高数 第6章 第6-2-21题

教材习题

📝 题目

21．利用题 20 的结论和方法，计算曲线 $y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 和 $x$ 轴所围成的图形按下列方式所得旋转体的体积： （1）绕 $y$ 轴旋转； （2）绕直线 $x=-\pi$ 旋转．

💡 答案解析

[AI解答]

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**题20结论回顾**： 设平面图形由曲线 $y=f(x)$（$a \le x \le b$）及 $x$ 轴围成，若用“柱壳法”求绕 $y$ 轴旋转的体积，公式为 $$ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. $$ 若绕直线 $x = c$ 旋转，则柱壳半径为 $|x-c|$，体积为 $$ V = 2\pi \int_a^b |x-c| f(x)\,dx. $$

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### (1) 绕 $y$ 轴旋转

曲线为 $y = \sin x$，区间 $0 \le x \le \pi$，与 $x$ 轴围成图形。 由柱壳法，绕 $y$ 轴旋转体积为 $$ V_1 = 2\pi \int_0^\pi x \sin x \, dx. $$ 计算积分： $$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C. $$ 代入上下限： $$ \int_0^\pi x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^\pi = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0 + 0) = (-\pi \cdot (-1) + 0) = \pi. $$ 因此 $$ V_1 = 2\pi \cdot \pi = 2\pi^2. $$

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### (2) 绕直线 $x = -\pi$ 旋转

此时旋转半径是 $|x - (-\pi)| = |x + \pi|$。 在区间 $[0, \pi]$ 上 $x+\pi > 0$，所以绝对值可直接去掉： $$ V_2 = 2\pi \int_0^\pi (x + \pi) \sin x \, dx. $$ 拆分为两项： $$ V_2 = 2\pi \left( \int_0^\pi x \sin x \, dx + \pi \int_0^\pi \sin x \, dx \right). $$ 第一项已求得为 $\pi$，第二项： $$ \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (1) - (-1) = 2. $$ 于是 $$ V_2 = 2\pi \left( \pi + \pi \cdot 2 \right) = 2\pi \cdot 3\pi = 6\pi^2. $$

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**最终答案**： (1) $\displaystyle V = 2\pi^2$ (2) $\displaystyle V = 6\pi^2$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：回顾柱壳法公式
由题20结论，平面图形由曲线y=f(x) (a≤x≤b)及x轴围成，绕y轴旋转体积为V=2π∫_a^b x f(x) dx；绕直线x=c旋转体积为V=2π∫_a^b |x-c| f(x) dx。
公式：V = 2π∫_a^b |x-c| f(x) dx
提示：注意柱壳半径是|x-c|，当x-c恒正或恒负时可直接去掉绝对值。
步骤 2/3
目标：计算绕y轴旋转体积
曲线y=sin x，区间[0,π]，绕y轴旋转体积V1=2π∫_0^π x sin x dx。计算积分：∫ x sin x dx = -x cos x + sin x + C，代入上下限得∫_0^π x sin x dx = π，故V1=2π·π=2π^2。
公式：∫ x sin x dx = -x cos x + sin x + C
提示：分部积分法：设u=x, dv=sin x dx。
步骤 3/3
目标：计算绕直线x=-π旋转体积
旋转半径|x-(-π)|=|x+π|，在[0,π]上x+π>0，故V2=2π∫_0^π (x+π) sin x dx = 2π(∫_0^π x sin x dx + π∫_0^π sin x dx)。第一项为π，第二项∫_0^π sin x dx = 2，所以V2=2π(π+2π)=6π^2。
公式：∫_0^π sin x dx = 2
提示：注意拆项后分别积分，避免直接计算复杂积分。

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