同济高数 第6章 第6-2-25题
📝 题目
25．计算抛物线 $y^{2}=2 p x(p\gt 0)$ 从顶点到这曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧长．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求抛物线 $y^2 = 2px$ 从顶点 $(0,0)$ 到点 $M(x, y)$ 的弧长。 首先将曲线表示为显函数形式。由于对称性，我们考虑上半支 $y = \sqrt{2px}$，其中 $x \ge 0$。
弧长公式为： $$ s = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $$
先求导数： $$ y = \sqrt{2p}\, x^{1/2} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \sqrt{2p} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \sqrt{\frac{p}{2x}} $$
于是： $$ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \frac{p}{2x} = \frac{2x + p}{2x} $$
所以弧长积分为： $$ s = \int_{0}^{x} \sqrt{\frac{2x + p}{2x}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{2x + p}}{\sqrt{x}} \, dx $$
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\, dt$，且当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=x$ 时 $t=\sqrt{x}$。 代入得： $$ s = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{\sqrt{2t^2 + p}}{t} \cdot 2t \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{\sqrt{x}} \sqrt{2t^2 + p} \, dt $$
这是一个标准积分： $$ \int \sqrt{2t^2 + p} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{2t^2 + p} + \frac{p}{2\sqrt{2}} \ln\left| \sqrt{2}\, t + \sqrt{2t^2 + p} \right| + C $$
因此： $$ s = \sqrt{2} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{2t^2 + p} + \frac{p}{2\sqrt{2}} \ln\left( \sqrt{2}\, t + \sqrt{2t^2 + p} \right) \right]_{0}^{\sqrt{x}} $$
代入 $t = \sqrt{x}$： $$ s = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{2x + p} + \sqrt{2} \cdot \frac{p}{2\sqrt{2}} \ln\left( \sqrt{2x} + \sqrt{2x + p} \right) - 0 $$
化简： $$ s = \frac{\sqrt{x(2x + p)}}{2} \cdot \sqrt{2}? $$ 注意第一项： $$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{2x + p} = \frac{\sqrt{2x(2x + p)}}{2} $$ 第二项： $$ \sqrt{2} \cdot \frac{p}{2\sqrt{2}} = \frac{p}{2} $$ 所以： $$ s = \frac{\sqrt{2x(2x + p)}}{2} + \frac{p}{2} \ln\left( \sqrt{2x} + \sqrt{2x + p} \right) - \frac{p}{2} \ln(\sqrt{p}) $$
因为当 $t=0$ 时，$\sqrt{2t^2+p} = \sqrt{p}$，且 $\ln(\sqrt{2}\cdot 0 + \sqrt{p}) = \ln(\sqrt{p})$，所以下界贡献为： $$ -\frac{p}{2} \ln(\sqrt{p}) $$
于是最终弧长公式为： $$ \boxed{s = \frac{\sqrt{2x(2x + p)}}{2} + \frac{p}{2} \ln\left( \frac{\sqrt{2x} + \sqrt{2x + p}}{\sqrt{p}} \right)} $$
也可写作： $$ s = \frac{\sqrt{2px + x^2?}}? $$ 注意 $2x(2x+p) = 4x^2 + 2px$，但更常见形式是： $$ s = \frac{y}{p} \sqrt{y^2 + p^2}? $$ 实际上利用 $y^2 = 2px$ 可化为关于 $y$ 的形式，但此处已给出关于 $x$ 的显式结果。
难度评级：★★★☆☆ （涉及根号积分与代换技巧，计算稍繁，但思路常规）