同济高数 第6章 第6-2-26题
📝 题目
26．计算星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$（图6－26）的全长．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 星形线的参数方程为 $$ x = a \cos^3 t,\quad y = a \sin^3 t,\quad t \in [0, 2\pi]. $$ 弧长公式为 $$ s = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt. $$ 先求导数： $$ \frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t. $$ 于是 $$ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t. $$ 因此 $$ \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } = 3a |\cos t \sin t|. $$ 由于星形线关于坐标轴对称，可先计算第一象限的弧长再乘以 4。在第一象限，$ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $，此时 $\cos t \ge 0, \sin t \ge 0$，绝对值可去掉： $$ s_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3a \cos t \sin t \, dt. $$ 利用 $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t$，得 $$ s_1 = 3a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2t \, dt = \frac{3a}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt. $$ 令 $u = 2t$，则 $du = 2 dt$，积分限变为 $0$ 到 $\pi$： $$ s_1 = \frac{3a}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u \, du = \frac{3a}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{\pi} = \frac{3a}{4} \left( -\cos\pi + \cos 0 \right) = \frac{3a}{4} (1 + 1) = \frac{3a}{2}. $$ 因此星形线全长为 $$ s = 4 s_1 = 4 \cdot \frac{3a}{2} = 6a. $$
难度：★★☆☆☆