同济高数 第6章 第6-2-27题
📝 题目
27．将绕在圆（半径为 $a$ ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（图 6－27），细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线，它的方程为
$$ x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) . $$
计算该曲线上相应于 $0 \leqslant t \leqslant \pi$ 的一段弧的长度．
💡 答案解析
[AI解答]
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**步骤1：弧长公式**
对于由参数方程 $x = x(t), y = y(t)$ 给出的曲线，在区间 $[t_1, t_2]$ 上的弧长公式为： $$ s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt $$
**步骤2：求导数**
已知： $$ x = a(\cos t + t \sin t), \quad y = a(\sin t - t \cos t) $$
对 $t$ 求导： $$ \frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t \cos t) = a(t \cos t) $$ $$ \frac{dy}{dt} = a(\cos t - \cos t + t \sin t) = a(t \sin t) $$
**步骤3：计算被积函数**
$$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2 t^2 \cos^2 t + a^2 t^2 \sin^2 t = a^2 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2 t^2 $$
因此： $$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{a^2 t^2} = a |t| $$
由于 $t$ 在区间 $[0, \pi]$ 上非负，所以 $|t| = t$，即： $$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = a t $$
**步骤4：计算弧长**
$$ s = \int_{0}^{\pi} a t \, dt = a \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = a \cdot \frac{\pi^2}{2} $$
因此，所求弧长为： $$ \boxed{\dfrac{a\pi^{2}}{2}} $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （计算过程直接，仅需基本参数方程求导和简单积分，但需理解渐伸线的几何意义）