同济高数 第6章 第6-2-6题

教材习题

📝 题目

6．求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）$\rho=2 a \cos \theta$ ； （2）$x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ； （3）$\rho=2 a(2+\cos \theta)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 曲线 $\rho=2a\cos\theta$ 是圆心在 $(a,0)$、半径为 $a$ 的圆。 极坐标下面积公式为 $$ S = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 \, d\theta $$ 由于 $\rho=2a\cos\theta$ 在 $\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上封闭一圈，所以 $$ S = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2a\cos\theta)^2 \, d\theta = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4a^2 \cos^2\theta \, d\theta = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta $$ 利用 $\displaystyle \cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，得 $$ S = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta $$ 计算： $$ = a^2 \left[ \theta + \frac12 \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = a^2 \left[ \left(\frac{\pi}{2}+0\right) - \left(-\frac{\pi}{2}+0\right) \right] = a^2 \cdot \pi = \pi a^2 $$ 因此面积为 $\pi a^2$。

**（2）** 曲线 $x=a\cos^3 t,\ y=a\sin^3 t$ 是星形线。 利用参数方程面积公式： $$ S = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) \, dt $$ 取 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，由对称性，先求第一象限面积再乘以4。 第一象限 $\displaystyle t\in[0,\frac{\pi}{2}]$， $$ x'(t) = -3a\cos^2 t \sin t $$ 于是 $$ S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t) \, dt = -3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt $$ 取绝对值，第一象限面积为 $$ S_1 = 3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt $$ 利用 $\sin^4 t \cos^2 t = \sin^4 t (1-\sin^2 t) = \sin^4 t - \sin^6 t$， 由Wallis公式： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} t \, dt = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} $$ 得 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \, dt = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\cdot1}{4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16} $$ $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 t \, dt = \frac{5!!}{6!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32} $$ 因此 $$ S_1 = 3a^2 \left( \frac{3\pi}{16} - \frac{5\pi}{32} \right) = 3a^2 \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{3\pi a^2}{32} $$ 总面积 $$ S = 4 \cdot \frac{3\pi a^2}{32} = \frac{3\pi a^2}{8} $$

**（3）** 曲线 $\rho = 2a(2+\cos\theta)$ 是心脏线的变形（外摆线）。 极坐标面积公式： $$ S = \frac12 \int_{0}^{2\pi} \rho^2 \, d\theta = \frac12 \int_{0}^{2\pi} [2a(2+\cos\theta)]^2 \, d\theta = \frac12 \int_{0}^{2\pi} 4a^2 (2+\cos\theta)^2 \, d\theta = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} (4 + 4\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta $$ 利用 $\displaystyle \cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$， $$ S = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left(4 + 4\cos\theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{9}{2} + 4\cos\theta + \frac12 \cos 2\theta \right) d\theta $$ 在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的积分为0，因此 $$ S = 2a^2 \cdot \frac{9}{2} \cdot 2\pi = 18\pi a^2 $$

**最终答案：** (1) $\pi a^2$ (2) $\displaystyle \frac{3\pi a^2}{8}$ (3) $18\pi a^2$

难度评级：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求曲线 ρ=2a cosθ 所围面积
曲线是圆心在 (a,0)、半径为 a 的圆。极坐标面积公式 S=1/2 ∫ ρ² dθ。ρ=2a cosθ 在 θ∈[-π/2, π/2] 上封闭一圈，所以 S=1/2 ∫_{-π/2}^{π/2} (2a cosθ)² dθ = 2a² ∫_{-π/2}^{π/2} cos²θ dθ。利用 cos²θ=(1+cos2θ)/2，得 S=a² ∫_{-π/2}^{π/2} (1+cos2θ) dθ = a² [θ+1/2 sin2θ]_{-π/2}^{π/2} = πa²。
公式：S = 1/2 ∫_α^β ρ² dθ
提示：注意积分限对应曲线封闭一圈的范围。
步骤 2/3
目标：求曲线 x=a cos³t, y=a sin³t 所围面积
曲线是星形线。利用参数方程面积公式 S=∫ y(t) x'(t) dt。由对称性，先求第一象限面积再乘以4。t∈[0,π/2]，x'(t)=-3a cos²t sin t，则第一象限面积 S1=∫_0^{π/2} a sin³t · (-3a cos²t sin t) dt = 3a² ∫_0^{π/2} sin⁴t cos²t dt。利用 sin⁴t cos²t = sin⁴t - sin⁶t，由Wallis公式得 ∫_0^{π/2} sin⁴t dt=3π/16，∫_0^{π/2} sin⁶t dt=5π/32，故 S1=3a²(3π/16-5π/32)=3πa²/32，总面积 S=4S1=3πa²/8。
公式：S = ∫ y(t) x'(t) dt
提示：利用对称性简化计算，注意积分限和正负号。
步骤 3/3
目标：求曲线 ρ=2a(2+cosθ) 所围面积
曲线是心脏线的变形。极坐标面积公式 S=1/2 ∫_0^{2π} ρ² dθ = 1/2 ∫_0^{2π} [2a(2+cosθ)]² dθ = 2a² ∫_0^{2π} (4+4cosθ+cos²θ) dθ。利用 cos²θ=(1+cos2θ)/2，得 S=2a² ∫_0^{2π} (9/2+4cosθ+1/2 cos2θ) dθ。在[0,2π]上，cosθ和cos2θ积分为0，故 S=2a²·(9/2)·2π=18πa²。
公式：S = 1/2 ∫_0^{2π} ρ² dθ
提示：注意展开和积分时，余弦函数在一个周期内积分为零。

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