同济高数 第7章 第7-1-6题
📝 题目
6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强 $p$ 对于温度 $T$ 的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 根据题意，某种气体的压强 $p$ 对于温度 $T$ 的变化率，即导数 $\displaystyle{\frac{dp}{dT}}$，与压强 $p$ 成正比，且与温度 $T$ 的平方成反比。因此可设比例系数为 $k$（常数），得到微分方程：
$$ \frac{dp}{dT} = k \cdot \frac{p}{T^{2}} $$
其中 $k$ 为比例常数。这就是描述该物理命题的微分方程。
难度：★☆☆☆☆ （仅需将文字叙述直接转化为导数等式，属于基础建模题。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解题意，确定变量和变化关系
题目描述：某种气体的压强 p 对于温度 T 的变化率（即 dp/dT）与压强 p 成正比，与温度 T 的平方成反比。
提示：注意“变化率”指导数，“成正比”和“成反比”分别对应乘以比例系数和除以变量。
步骤 2/2
目标：建立微分方程
设比例系数为 k（常数），根据正比和反比关系，得到 dp/dT = k * (p / T^2)。
公式：dp/dT = k * p / T^2
提示：比例系数 k 可正可负，具体由物理背景决定，但此处只需写出方程形式。
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