新讲 第2章 极 限 第8题

例 8 设 $a \in \mathbb{R},\left| a\right| > 1$ ,则 $$ {t}_{n} = \frac{n}{{a}^{n}},\;n = 1,2,\cdots $$ 是无穷小序列. 事实上,对于 $n \geq 2$ ,我们有 $$ \left| \frac{n}{{a}^{n}}\right| = \frac{n}{{\left| a\right| }^{n}} = \frac{n}{{\left( 1 + \left( \left| a\right| - 1\right) \right) }^{n}} $$ $$ < \frac{n}{\frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} $$ $$ = \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}}. $$ 要使 $$ \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} < \varepsilon , $$ 只需 $$ n > \frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} + 1. $$ 我们可以取大于 $\frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} + 1$ 的任意自然数作为 $N$ ,例如可取 $N = \left\lbrack \frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}}\right\rbrack + 2$ . 对这样选取的 $N \in \mathbb{N}$ ,只要 $n > N$ ,就有 $$ \left| {t}_{n}\right| < \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} < \varepsilon . $$ 在上面各例中,我们采取逐步倒推的方式,从任意给定的 $\varepsilon$ 出发,寻找无穷小序列定义所要求的 $N$ . 因为只需要指出这样的 $N$ 存在, 所以在倒推的过程中, 允许适当地放宽不等式, 以简化我们的讨论. 这种放宽不等式的办法, 可以概括为以下简单的引理: 引理 设 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 是实数序列,并设存在 ${N}_{0} \in \mathbb{N}$ ,使得 $$ \left| {\alpha }_{n}\right| \leq {\beta }_{n},\;\forall n > {N}_{0}. $$ 如果 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,那么 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列.