新讲 第5章 原函数与不定积分 第6题
📝 题目
例 6 求 $\displaystyle{\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x}$ 和 $\displaystyle{\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x}$ ,这里 $a,b \neq 0$ .
💡 答案解析
解 利用分部积分法可得
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx} + \frac{b}{a}\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x, $$
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx} - \frac{b}{a}\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x. $$
解这方程组, 我们求得
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{ax}\frac{a\cos {bx} + b\sin {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C, $$
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{ax}\frac{a\sin {bx} - b\cos {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用分部积分法求第一个积分
设 u = e^{ax}, dv = cos(bx) dx，则 du = a e^{ax} dx, v = (1/b) sin(bx)。分部积分得 ∫ e^{ax} cos(bx) dx = (1/b) e^{ax} sin(bx) - (a/b) ∫ e^{ax} sin(bx) dx。但答案中给出的是另一种形式：令 u = cos(bx), dv = e^{ax} dx，则 du = -b sin(bx) dx, v = (1/a) e^{ax}，得 ∫ e^{ax} cos(bx) dx = (1/a) e^{ax} cos(bx) + (b/a) ∫ e^{ax} sin(bx) dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u 和 dv 时，通常让 dv 易于积分，u 的导数简单。
步骤 2/4
目标：应用分部积分法求第二个积分
类似地，令 u = sin(bx), dv = e^{ax} dx，则 du = b cos(bx) dx, v = (1/a) e^{ax}，得 ∫ e^{ax} sin(bx) dx = (1/a) e^{ax} sin(bx) - (b/a) ∫ e^{ax} cos(bx) dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意符号：du = b cos(bx) dx，所以减号。
步骤 3/4
目标：联立方程组求解
将两个等式视为关于 I1 = ∫ e^{ax} cos(bx) dx 和 I2 = ∫ e^{ax} sin(bx) dx 的线性方程组：
I1 = (1/a) e^{ax} cos(bx) + (b/a) I2
I2 = (1/a) e^{ax} sin(bx) - (b/a) I1
解之，将第二式代入第一式消去 I2，或直接解方程组。例如，由第一式得 I2 = (a/b)(I1 - (1/a) e^{ax} cos(bx))，代入第二式，整理得 I1 = e^{ax} (a cos(bx) + b sin(bx))/(a^2+b^2) + C。类似可得 I2。
公式：解线性方程组
提示：注意常数 C 在最后加上。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
得到两个积分的结果：
∫ e^{ax} cos(bx) dx = e^{ax} (a cos(bx) + b sin(bx))/(a^2+b^2) + C
∫ e^{ax} sin(bx) dx = e^{ax} (a sin(bx) - b cos(bx))/(a^2+b^2) + C
提示：结果可以记忆为分母是 a^2+b^2，分子是 e^{ax} 乘以线性组合。
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