新讲 第5章 原函数与不定积分 第6题
📝 题目
例 6 求 $\displaystyle{\int \frac{{x}^{2} + {3ax} - 1}{{x}^{4} + {x}^{2} - 2}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{{x}^{2} + {3ax} - 1}{{x}^{4} + {x}^{2} - 2} = \frac{{3ax} + \left( {{x}^{2} - 1}\right) }{\left( {{x}^{2} - 1}\right) \left( {{x}^{2} + 2}\right) } $$
$$ = \frac{{ax}\left\lbrack {\left( {{x}^{2} + 2}\right) - \left( {{x}^{2} - 1}\right) }\right\rbrack + \left( {{x}^{2} - 1}\right) }{\left( {{x}^{2} - 1}\right) \left( {{x}^{2} + 2}\right) } $$
$$ = a\left( {\frac{x}{{x}^{2} - 1} - \frac{x}{{x}^{2} + 2}}\right) + \frac{1}{{x}^{2} + 2}. $$
于是得到
$$ \int \frac{{x}^{2} + {3ax} - 1}{{x}^{4} + {x}^{2} - 2}\mathrm{\;d}x = \frac{a}{2}\ln \left| \frac{{x}^{2} - 1}{{x}^{2} + 2}\right| + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分解分母
将分母因式分解：x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)。
公式：x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)
提示：注意x^2 - 1可进一步分解为(x-1)(x+1)，但此处保留平方形式便于后续操作。
步骤 2/8
目标：拆分分子
将分子写成3ax + (x^2 - 1)，以便与分母的因子匹配。
公式：x^2 + 3ax - 1 = 3ax + (x^2 - 1)
提示：目的是将分子拆分为与分母因子相关的部分。
步骤 3/8
目标：将分子中的3ax用分母因子表示
注意到3ax = ax[(x^2+2) - (x^2-1)]，因为(x^2+2) - (x^2-1) = 3。
公式：3ax = ax[(x^2+2) - (x^2-1)]
提示：这种技巧常用于将分子表示为分母因子的线性组合。
步骤 4/8
目标：化简被积函数
将分子代入，并除以分母(x^2-1)(x^2+2)，得到：
原式 = [ax((x^2+2)-(x^2-1)) + (x^2-1)] / [(x^2-1)(x^2+2)] = a[x/(x^2-1) - x/(x^2+2)] + 1/(x^2+2)。
公式：原式 = a( x/(x^2-1) - x/(x^2+2) ) + 1/(x^2+2)
提示：注意分式减法时，分子分母约简。
步骤 5/8
目标：积分第一项
积分 a * x/(x^2-1) dx：令u=x^2-1，du=2x dx，则积分 = (a/2)∫ du/u = (a/2) ln|x^2-1|。
公式：∫ x/(x^2-1) dx = (1/2) ln|x^2-1| + C
提示：使用凑微分法。
步骤 6/8
目标：积分第二项
积分 -a * x/(x^2+2) dx：类似地，令v=x^2+2，dv=2x dx，积分 = -(a/2)∫ dv/v = -(a/2) ln|x^2+2|。
公式：∫ x/(x^2+2) dx = (1/2) ln|x^2+2| + C
提示：注意负号。
步骤 7/8
目标：积分第三项
积分 1/(x^2+2) dx：这是标准形式，结果为 (1/√2) arctan(x/√2)。
公式：∫ 1/(x^2+a^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a=√2
提示：直接套用公式。
步骤 8/8
目标：合并结果
将三项积分合并，得到：
(a/2) ln|x^2-1| - (a/2) ln|x^2+2| + (1/√2) arctan(x/√2) + C = (a/2) ln| (x^2-1)/(x^2+2) | + (1/√2) arctan(x/√2) + C。
公式：最终结果：∫ = (a/2) ln| (x^2-1)/(x^2+2) | + (1/√2) arctan(x/√2) + C
提示：注意对数合并时绝对值。
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