新讲 第5章 原函数与不定积分 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} + {x}^{2} + 1}}$ 和 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} + 1}}$ .

💡 答案解析

解 我们有

$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} + {x}^{2} + 1} = \frac{1}{2}\int \frac{\left( {{x}^{2} + 1}\right) - \left( {{x}^{2} - 1}\right) }{{x}^{4} + {x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{2}\int \frac{{x}^{2} + 1}{{x}^{4} + {x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{2}\int \frac{{x}^{2} - 1}{{x}^{4} + {x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{2}\int \frac{1 + \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2} + 1 + \frac{1}{{x}^{2}}}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{2}\int \frac{1 - \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2} + 1 + \frac{1}{{x}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {x - \frac{1}{x}}\right) }{{\left( x - \frac{1}{x}\right) }^{2} + 3} - \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {x + \frac{1}{x}}\right) }{{\left( x + \frac{1}{x}\right) }^{2} - 1} $$

$$ = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan \frac{{x}^{2} - 1}{\sqrt{3}x} + \frac{1}{4}\ln \frac{{x}^{2} + x + 1}{{x}^{2} - x + 1} + C. $$

用类似的办法可以求得

$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} + 1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \frac{{x}^{2} - 1}{\sqrt{2}x} + \frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \frac{{x}^{2} + \sqrt{2}x + 1}{{x}^{2} - \sqrt{2}x + 1} + C. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将积分拆分为两个部分
将分子拆分为 (x^2+1) 和 (x^2-1) 的差，即 ∫ dx/(x^4+x^2+1) = 1/2 ∫ (x^2+1)/(x^4+x^2+1) dx - 1/2 ∫ (x^2-1)/(x^4+x^2+1) dx
公式：∫ dx/(x^4+x^2+1) = 1/2 ∫ (x^2+1)/(x^4+x^2+1) dx - 1/2 ∫ (x^2-1)/(x^4+x^2+1) dx
提示：拆分分子是为了后续凑微分
步骤 2/5
目标：对两个积分分别进行变形，凑出微分形式
将第一个积分分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1+1/x^2)/(x^2+1+1/x^2) dx；第二个积分类似得到 ∫ (1-1/x^2)/(x^2+1+1/x^2) dx。注意 x^2+1+1/x^2 = (x-1/x)^2+3 = (x+1/x)^2-1。
公式：∫ (1+1/x^2)/(x^2+1+1/x^2) dx = ∫ d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+3]；∫ (1-1/x^2)/(x^2+1+1/x^2) dx = ∫ d(x+1/x)/[(x+1/x)^2-1]
提示：注意 d(x-1/x) = (1+1/x^2)dx，d(x+1/x) = (1-1/x^2)dx
步骤 3/5
目标：计算两个积分
第一个积分 ∫ d(u)/(u^2+3) = (1/√3) arctan(u/√3)，其中 u = x-1/x；第二个积分 ∫ d(v)/(v^2-1) = (1/2) ln|(v-1)/(v+1)|，其中 v = x+1/x。代入并化简得到结果。
公式：∫ du/(u^2+a^2) = (1/a) arctan(u/a)；∫ dv/(v^2-a^2) = (1/(2a)) ln|(v-a)/(v+a)|
提示：注意绝对值，但最终结果中可省略
步骤 4/5
目标：整理最终表达式
将 u = x-1/x = (x^2-1)/x，v = x+1/x = (x^2+1)/x 代入，得到 ∫ dx/(x^4+x^2+1) = 1/(2√3) arctan((x^2-1)/(√3 x)) + 1/4 ln((x^2+x+1)/(x^2-x+1)) + C
公式：最终结果
提示：注意 ln 中分子分母的化简
步骤 5/5
目标：类似方法求 ∫ dx/(x^4+1)
将分母 x^4+1 分解为 (x^2+√2 x+1)(x^2-√2 x+1)，然后类似拆分，或者用相同技巧：分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1/x^2)/(x^2+1/x^2) dx，再凑微分。最终结果为 1/(2√2) arctan((x^2-1)/(√2 x)) + 1/(4√2) ln((x^2+√2 x+1)/(x^2-√2 x+1)) + C
公式：∫ dx/(x^4+1) = 1/(2√2) arctan((x^2-1)/(√2 x)) + 1/(4√2) ln((x^2+√2 x+1)/(x^2-√2 x+1)) + C
提示：注意与第一题的区别：分母常数项不同

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