新讲 第6章 定积分 第8题
📝 题目
解 用分部积分法得
$$ {\int }_{0}^{\pi }x\sin x\mathrm{\;d}x = - {\left. x\cos x\right| }_{0}^{\pi } + {\int }_{0}^{\pi }\cos x\mathrm{\;d}x = \pi . $$
💡 答案解析
解 用分部积分法得
$$ {\int }_{0}^{\pi }x\sin x\mathrm{\;d}x = - {\left. x\cos x\right| }_{0}^{\pi } + {\int }_{0}^{\pi }\cos x\mathrm{\;d}x = \pi . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用分部积分法
设 u = x, dv = sin x dx，则 du = dx, v = -cos x。由分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du，得 ∫ x sin x dx = -x cos x + ∫ cos x dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u 和 dv 时，通常让 u 易于求导，dv 易于积分。
步骤 2/2
目标：计算定积分
计算 ∫_0^π x sin x dx = [-x cos x]_0^π + ∫_0^π cos x dx。代入上下限：-π cos π - (-0 cos 0) = -π(-1) = π，加上 ∫_0^π cos x dx = sin x|_0^π = 0 - 0 = 0，总和为 π。
公式：∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
提示：注意 cos π = -1，cos 0 = 1，sin π = 0，sin 0 = 0。
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