新讲 第6章 定积分 第1题
📝 题目
例 1 求椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 所围成的面积.
💡 答案解析
解 由对称性, 所求面积为它在第一象限内的部分面积的 4 倍:
$$ S = 4{\int }_{0}^{a}y\mathrm{\;d}x = {4b}{\int }_{0}^{a}\sqrt{1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}\mathrm{\;d}x. $$
做变元替换 $x = a\sin t$ ,则得
$$ S = {4ab}{\int }_{0}^{\pi /2}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = {2ab}{\int }_{0}^{\pi /2}\left( {1 + \cos {2t}}\right) \mathrm{d}t = {\pi ab}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性将面积表示为第一象限面积的4倍
由椭圆关于x轴和y轴对称，所求面积S等于第一象限内部分面积的4倍。第一象限内，y = b√(1 - x²/a²)，x从0到a，因此S = 4∫₀ᵃ y dx = 4b∫₀ᵃ √(1 - x²/a²) dx。
公式：S = 4∫₀ᵃ y dx = 4b∫₀ᵃ √(1 - x²/a²) dx
提示：对称性简化积分区间
步骤 2/4
目标：进行变量替换x = a sin t
令x = a sin t，则dx = a cos t dt，当x=0时t=0，x=a时t=π/2。代入得S = 4b∫₀^{π/2} √(1 - sin² t) · a cos t dt = 4ab∫₀^{π/2} cos² t dt。
公式：x = a sin t, dx = a cos t dt, √(1 - x²/a²) = cos t
提示：三角代换消除根号
步骤 3/4
目标：利用倍角公式化简积分
cos² t = (1 + cos 2t)/2，因此S = 4ab∫₀^{π/2} (1 + cos 2t)/2 dt = 2ab∫₀^{π/2} (1 + cos 2t) dt。
公式：cos² t = (1 + cos 2t)/2
提示：降幂公式
步骤 4/4
目标：计算定积分得到面积
∫₀^{π/2} 1 dt = π/2，∫₀^{π/2} cos 2t dt = (1/2) sin 2t|₀^{π/2} = 0，所以S = 2ab · (π/2) = πab。
公式：∫₀^{π/2} (1 + cos 2t) dt = π/2
提示：cos 2t在0到π/2积分为0
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