新讲 第6章 定积分 第4题
📝 题目
例 4 求心形线 $r = a\left( {1 + \cos \theta }\right)$ 所围成的图形的面积.
💡 答案解析
解 容易看出, 该曲线关于极轴对称并且是封闭的. 所求的面积为它在上半平面内面积的 2 倍 (见图 6-5):
$$ S = 2 \cdot \frac{1}{2}{\int }_{0}^{\pi }{a}^{2}{\left( 1 + \cos \theta \right) }^{2}\mathrm{\;d}\theta $$
$$ = {a}^{2}{\int }_{0}^{\pi }\left( {1 + 2\cos \theta + {\cos }^{2}\theta }\right) \mathrm{d}\theta $$
$$ = \frac{3}{2}\pi {a}^{2}\text{ . } $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/023.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-5
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域和对称性
心形线 r = a(1+cosθ) 关于极轴对称，且θ从0到2π形成封闭图形。因此，总面积等于上半平面面积的两倍，θ积分区间为[0, π]。
提示：利用对称性简化计算，注意极坐标下面积元素为 (1/2)r^2 dθ。
步骤 2/4
目标：写出面积积分表达式
面积 S = 2 * (1/2) ∫_{0}^{π} r^2 dθ = ∫_{0}^{π} a^2 (1+cosθ)^2 dθ。
公式：S = ∫_{0}^{π} a^2 (1+cosθ)^2 dθ
提示：注意系数2与1/2相乘得1，直接积分即可。
步骤 3/4
目标：展开被积函数
展开 (1+cosθ)^2 = 1 + 2cosθ + cos^2θ。
公式：(1+cosθ)^2 = 1 + 2cosθ + cos^2θ
提示：利用三角恒等式 cos^2θ = (1+cos2θ)/2 进一步简化。
步骤 4/4
目标：计算定积分
S = a^2 ∫_{0}^{π} (1 + 2cosθ + cos^2θ) dθ = a^2 [ ∫_{0}^{π} 1 dθ + 2∫_{0}^{π} cosθ dθ + ∫_{0}^{π} cos^2θ dθ ]。计算各项：∫_{0}^{π} 1 dθ = π；∫_{0}^{π} cosθ dθ = sinθ|_{0}^{π} = 0；∫_{0}^{π} cos^2θ dθ = ∫_{0}^{π} (1+cos2θ)/2 dθ = (1/2)[θ + (1/2)sin2θ]|_{0}^{π} = π/2。因此 S = a^2 (π + 0 + π/2) = (3/2)π a^2。
公式：∫_{0}^{π} cos^2θ dθ = π/2
提示：注意cosθ在[0,π]的积分为0，cos^2θ的积分利用倍角公式。
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