新讲 第6章 定积分 第5题
📝 题目
例 5 设正劈锥体的底是半径为 $R$ 的圆面,顶棱是平行于底圆直径的线段,高为 $H$ ,试求该正劈锥体的体积 (图 6-6).
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图 6-6
💡 答案解析
解 设该正劈锥体的底为
$$ {x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2},\;z = 0, $$
顶棱为
$$ - R \leq x \leq R,\;y = 0,\;z = H. $$
过 ${OX}$ 轴上一点 $x$ 并垂直于该轴的平面截正劈锥体得一等腰三角形, 该等腰三角形的面积为
$$ S\left( x\right) = H \cdot y = H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}. $$
于是, 我们求得正劈锥体的体积
$$ V = {\int }_{-R}^{R}H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {2H}{\int }_{0}^{R}\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {2H}{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = H{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {1 + \cos {2t}}\right) \mathrm{d}t $$
$$ = \frac{\pi {R}^{2}H}{2}\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系并描述几何体
设正劈锥体的底为圆面 x^2 + y^2 ≤ R^2, z = 0；顶棱为线段 -R ≤ x ≤ R, y = 0, z = H。
提示：坐标系选择使底面在z=0平面，顶棱在z=H平面且平行于x轴。
步骤 2/5
目标：求截面面积函数
过x轴上一点x且垂直于x轴的平面截正劈锥体，得到等腰三角形，底边长为2y，高为H，其中y = √(R^2 - x^2)。因此三角形面积 S(x) = H * y = H√(R^2 - x^2)。
公式：S(x) = H√(R^2 - x^2)
提示：注意截面是三角形，底边长度由圆的方程决定。
步骤 3/5
目标：建立体积积分表达式
体积 V = ∫_{-R}^{R} S(x) dx = ∫_{-R}^{R} H√(R^2 - x^2) dx。利用对称性，V = 2H∫_{0}^{R} √(R^2 - x^2) dx。
公式：V = 2H∫_{0}^{R} √(R^2 - x^2) dx
提示：利用偶函数性质简化积分限。
步骤 4/5
目标：计算积分
令 x = R sin t，则 dx = R cos t dt，当 x=0 时 t=0，x=R 时 t=π/2。积分变为 2H∫_{0}^{π/2} R cos t * R cos t dt = 2H R^2 ∫_{0}^{π/2} cos^2 t dt。
公式：∫_{0}^{R} √(R^2 - x^2) dx = R^2 ∫_{0}^{π/2} cos^2 t dt
提示：三角换元是处理√(R^2 - x^2)的常用方法。
步骤 5/5
目标：利用倍角公式化简积分
cos^2 t = (1+cos2t)/2，所以 ∫_{0}^{π/2} cos^2 t dt = ∫_{0}^{π/2} (1+cos2t)/2 dt = (1/2)[t + (sin2t)/2]_{0}^{π/2} = π/4。因此 V = 2H R^2 * (π/4) = πR^2 H/2。
公式：∫_{0}^{π/2} cos^2 t dt = π/4
提示：注意积分上下限的变换。
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