新讲 第6章 定积分 第6题
📝 题目
例 6 试求把弹簧拉长 $a$ 个长度单位所需做的功.
💡 答案解析
解 根据胡克定律, 拉长弹簧所用的力与拉长的长度成正比:
$$ F = {kx}, $$
其中 $k$ 为常数. 把弹簧拉长 $a$ 个长度单位所需做的功为
$$ W = {\int }_{0}^{a}{kx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}k{a}^{2}. $$
设一块平板竖放在密度为 $\rho$ 的液体里. 我们来计算这块平板所承受的液体压力. 选择位于液体表面的某点为原点 $O$ ,选择沿竖直线向下的方向为 ${OY}$ 轴正方向. 设在深度为 $y$ 处的平板的宽度为 $f\left( y\right)$ . 我们用水平线把平板分成很多窄条. 考察从深度 $y$ 到深度 $y + {\Delta y}$ 的一窄条. 该窄条所受到的液体压力为
$$ {\Delta P} = {\rho gyf}\left( y\right) {\Delta y}, $$
其中 $g$ 为重力加速度. 于是,整个平板所承受的压力表示为积分
$$ P = {\rho g}{\int }_{A}^{B}{yf}\left( y\right) \mathrm{d}y, $$
这里 $A$ 和 $B$ 分别是平板浸入液体的最小深度和最大深度. 我们把
$$ \mathrm{d}P = {\rho gyf}\left( y\right) \mathrm{d}y $$
称为侧压力的微元.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立弹簧拉力与伸长量的关系
根据胡克定律，拉长弹簧所需的力F与伸长量x成正比，即F = kx，其中k为弹簧的劲度系数。
公式：F = kx
提示：胡克定律适用于弹性限度内，k是常数。
步骤 2/4
目标：计算拉长弹簧所做的功
功是力对位移的积分。将弹簧从原长拉长到长度a，力F随位移x变化，因此功W = ∫₀ᵃ F dx = ∫₀ᵃ kx dx。
公式：W = ∫₀ᵃ kx dx
提示：注意积分变量是位移x，从0到a。
步骤 3/4
目标：求解定积分
计算积分：∫₀ᵃ kx dx = (1/2)kx²|₀ᵃ = (1/2)ka²。
公式：∫ kx dx = (1/2)kx²
提示：积分结果代入上下限。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，拉长弹簧a个单位长度所需做的功为W = (1/2)ka²。
公式：W = (1/2)ka²
提示：结果与弹簧劲度系数k和伸长量a的平方成正比。
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