新讲 第6章 定积分 第7题
📝 题目
例 7 设水渠闸门的形状是一个底为 $a$ 、高为 $h$ 的倒置的等腰三角形 (图 6-7). 求该闸门所承受的最大压力.
\begin{center} ![](\"/static/img/math_analysis/025.jpg\")
\end{center} \hspace*{3em}
图 6-7
💡 答案解析
解 对于适当的单位制,水的密度 $\rho = 1$ . 在深度为 $y$ 的地方,闸门的宽度为
$$ f\left( y\right) = \frac{h - y}{h}a. $$
闸门承受的最大压力为
$$ P = g{\int }_{0}^{h}y\frac{h - y}{h}a\mathrm{\;d}y = \frac{{ag}{h}^{2}}{6}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系，确定深度y处闸门宽度表达式
以水面为原点，竖直向下为y轴正方向，深度y处闸门宽度为线性函数。由相似三角形，宽度f(y) = a*(h-y)/h。
公式：f(y) = a*(h-y)/h
提示：注意倒置三角形，顶部宽度为a，底部宽度为0。
步骤 2/5
目标：写出压力微元表达式
深度y处压强为ρgy，取微元高度dy，微元面积dS = f(y) dy，微元压力dP = ρgy * dS = ρg y * a*(h-y)/h dy。
公式：dP = ρg y * a*(h-y)/h dy
提示：ρ=1（适当单位制），g为重力加速度。
步骤 3/5
目标：积分求总压力
对y从0到h积分：P = ∫₀ʰ ρg y * a*(h-y)/h dy = (ρg a/h) ∫₀ʰ y(h-y) dy = (ρg a/h) ∫₀ʰ (hy - y²) dy。
公式：P = (ρg a/h) ∫₀ʰ (hy - y²) dy
提示：积分限从水面到闸门底部。
步骤 4/5
目标：计算定积分
∫₀ʰ (hy - y²) dy = [h*y²/2 - y³/3]₀ʰ = h³/2 - h³/3 = h³/6。
公式：∫₀ʰ (hy - y²) dy = h³/6
提示：注意积分计算。
步骤 5/5
目标：代入得到最终压力表达式
P = (ρg a/h) * (h³/6) = ρg a h²/6。取ρ=1，得P = a g h²/6。
公式：P = a g h²/6
提示：结果与题目答案一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。