新讲 第8章 利用导数研究函数 第1题
📝 题目
例 1 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{x - \sin x}{{x}^{3}}}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{x - \sin x}{{x}^{3}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{3{x}^{2}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{6x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用洛必达法则（0/0型）
当x→0时，分子x - sinx → 0，分母x^3 → 0，满足洛必达法则条件，对分子分母分别求导。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}
提示：注意求导正确：分子导数为1-cosx，分母导数为3x^2。
步骤 2/4
目标：再次应用洛必达法则（0/0型）
当x→0时，分子1-cosx → 0，分母3x^2 → 0，再次使用洛必达法则。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}
提示：分子导数为sinx，分母导数为6x。
步骤 3/4
目标：第三次应用洛必达法则（0/0型）
当x→0时，分子sinx → 0，分母6x → 0，继续使用洛必达法则。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6}
提示：分子导数为cosx，分母导数为6。
步骤 4/4
目标：代入求值
当x→0时，cosx → 1，因此极限为1/6。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}
提示：直接代入x=0即可。
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