新讲 第8章 利用导数研究函数 第2题
📝 题目
例 2 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{\mathrm{e}}^{x}},k \in {\mathbb{N}}^{\left( 1\right) }$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{\mathrm{e}}^{x}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{k{x}^{k - 1}}{{\mathrm{e}}^{x}} = \cdots = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{k!}{{\mathrm{e}}^{x}} = 0}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用洛必达法则
由于当x→+∞时，分子x^k和分母e^x都趋于无穷大，满足洛必达法则条件，对分子分母分别求导。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{x^k}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{k x^{k-1}}{e^x}
提示：注意洛必达法则的使用条件：0/0或∞/∞型未定式。
步骤 2/3
目标：重复应用洛必达法则
每次应用洛必达法则后，分子次数降低1，分母不变。重复k次，直到分子变为常数k!。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{k x^{k-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to +\infty} \frac{k!}{e^x}
提示：每步都要检查是否仍为∞/∞型，确保可以继续使用洛必达法则。
步骤 3/3
目标：计算极限
当分子为常数k!，分母e^x趋于无穷大时，极限为0。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{k!}{e^x} = 0
提示：指数函数增长速度快于任何幂函数。
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