新讲 第8章 利用导数研究函数 第3题
📝 题目
例 3 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{\alpha }}\left( {\alpha > 0}\right)$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{a}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\frac{1}{x}}{\alpha {x}^{\alpha - 1}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{1}{\alpha {x}^{a}} = 0}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型
当 x→+∞ 时，ln x → +∞，x^α → +∞，因此极限为 ∞/∞ 型未定式，适用洛必达法则。
提示：注意 α>0 保证分母趋于无穷大。
步骤 2/4
目标：应用洛必达法则
对分子分母分别求导：分子 ln x 的导数为 1/x，分母 x^α 的导数为 α x^{α-1}，得到新极限 lim_{x→+∞} (1/x) / (α x^{α-1})。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1/x}{\alpha x^{\alpha-1}}
提示：洛必达法则要求导数存在且分母导数不为零。
步骤 3/4
目标：化简表达式
将分式化简： (1/x) / (α x^{α-1}) = 1/(α x^α)。
公式：\frac{1/x}{\alpha x^{\alpha-1}} = \frac{1}{\alpha x^\alpha}
提示：注意指数运算：x^{α-1} * x = x^α。
步骤 4/4
目标：计算极限
由于 α>0，当 x→+∞ 时，x^α → +∞，因此 1/(α x^α) → 0。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\alpha x^\alpha} = 0
提示：α>0 确保分母趋于无穷大。
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