新讲 第8章 利用导数研究函数 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {\frac{1}{{x}^{2}} - {\cot }^{2}x}\right)$ .

💡 答案解析

解 这是一个 $\displaystyle{\infty - \infty}$ 型未定式,它容易转化成 $\frac{0}{0}$ 型未定式:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {\frac{1}{{x}^{2}} - {\cot }^{2}x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{\sin }^{2}x - {x}^{2}{\cos }^{2}x}{{x}^{2}{\sin }^{2}x} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x - x\cos x}{{x}^{2}\sin x} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {1 + \frac{x}{\sin x}\cos x}\right) \left( \frac{\sin x - x\cos x}{{x}^{2}\sin x}\right) . $$

前一因式的极限为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {1 + \frac{x}{\sin x}\cos x}\right) = 2. $$

为求得后一因式的极限, 我们用洛必达法则:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x - x\cos x}{{x}^{2}\sin x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{x\sin x}{{2x}\sin x + {x}^{2}\cos x} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{2\sin x + x\cos x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\cos x}{3\cos x - x\sin x} = \frac{1}{3}. $$

于是, 所求的极限为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {\frac{1}{{x}^{2}} - {\cot }^{2}x}\right) = \frac{2}{3}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：识别未定式类型并转化为0/0型
原极限是∞-∞型，通过通分转化为0/0型： \[\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}-\cot^2 x\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x - x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}\]
公式：\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
提示：通分时注意将cot^2 x写成cos^2 x/sin^2 x
步骤 2/6
目标：因式分解分子
将分子分解为两个因式的乘积： \[\sin^2 x - x^2\cos^2 x = (\sin x + x\cos x)(\sin x - x\cos x)\] 从而极限化为： \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x - x\cos x}{x^2\sin x}\]
公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
提示：注意将分母x^2 sin^2 x拆分为sin x与x^2 sin x的乘积
步骤 3/6
目标：计算第一个因式的极限
第一个因式： \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to0}\left(1 + \frac{x}{\sin x}\cos x\right) = 1 + 1 \cdot 1 = 2\]
公式：\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
提示：利用重要极限和cos0=1
步骤 4/6
目标：对第二个因式使用洛必达法则
第二个因式是0/0型，应用洛必达法则： \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^2\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{2x\sin x + x^2\cos x}\] 分子求导得x sin x，分母求导得2x sin x + x^2 cos x
公式：洛必达法则：\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}
提示：求导时注意乘积法则
步骤 5/6
目标：化简并再次使用洛必达法则
约去分子分母的公因子x： \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2\sin x + x\cos x}\] 仍是0/0型，再次使用洛必达法则： \[\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{3\cos x - x\sin x} = \frac{1}{3}\]
公式：洛必达法则
提示：第二次求导后分母为3cos x - x sin x
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原极限 = 第一个因式极限 × 第二个因式极限 = 2 × (1/3) = 2/3

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