新讲 第8章 利用导数研究函数 第5题
📝 题目
例 5 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\forall x < 1$ .
💡 答案解析
证明 记 $f\left( x\right) = \left( {1 - x}\right) {\mathrm{e}}^{x}$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = - x{\mathrm{e}}^{x}. $$
导函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 经过 $x = 0$ 这一点从正变为负,因而 $x = 0$ 是函数 $f\left( x\right)$ 取得最大值的点. 我们得到
$$ \left( {1 - x}\right) {\mathrm{e}}^{x} \leq 1,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
因而
$$ {\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\;\forall x < 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导
令 f(x) = (1-x)e^x，计算导数 f'(x) = -x e^x。
公式：f'(x) = -x e^x
提示：注意乘积法则的应用。
步骤 2/4
目标：分析导数符号确定极值点
由 f'(x) = -x e^x 可知，当 x<0 时 f'(x)>0，当 x>0 时 f'(x)<0，因此 f(x) 在 x=0 处取得最大值。
提示：导数符号变化决定极值。
步骤 3/4
目标：计算最大值并得到不等式
f(0)=1，故 (1-x)e^x ≤ 1 对所有实数 x 成立。
公式：(1-x)e^x ≤ 1
提示：最大值点代入。
步骤 4/4
目标：变形得到目标不等式
当 x<1 时，1-x>0，将不等式两边除以 (1-x) 即得 e^x ≤ 1/(1-x)。
公式：e^x ≤ 1/(1-x), ∀x<1
提示：注意分母不为零且为正。
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