新讲 第8章 利用导数研究函数 第7题
📝 题目
例 7 设 $p,q > 0,\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . 试证
$$ {x}^{\frac{1}{p}}{y}^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p}x + \frac{1}{q}y,\;\forall x,y \geq 0, $$
等号仅当 $x = y$ 时成立.
💡 答案解析
证明 这是上一例中 $m = 2$ 的情形.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：引入凸函数性质
考虑函数 f(t) = e^t，它是凸函数。令 t1 = ln x，t2 = ln y，则 x = e^{t1}，y = e^{t2}。由凸函数 Jensen 不等式：f(λ t1 + (1-λ) t2) ≤ λ f(t1) + (1-λ) f(t2)，取 λ = 1/p，1-λ = 1/q。
公式：f(λ t1 + (1-λ) t2) ≤ λ f(t1) + (1-λ) f(t2)
提示：注意凸函数定义中不等号方向，指数函数是凸函数。
步骤 2/3
目标：代入具体值
代入 λ = 1/p，1-λ = 1/q，则左边：f( (1/p) ln x + (1/q) ln y ) = e^{(1/p) ln x + (1/q) ln y} = e^{ln x^{1/p} + ln y^{1/q}} = x^{1/p} y^{1/q}。右边：(1/p) f(ln x) + (1/q) f(ln y) = (1/p) e^{ln x} + (1/q) e^{ln y} = (1/p) x + (1/q) y。
公式：x^{1/p} y^{1/q} ≤ (1/p) x + (1/q) y
提示：指数运算：e^{a ln b} = b^a。
步骤 3/3
目标：讨论等号成立条件
凸函数 Jensen 不等式等号成立当且仅当 t1 = t2，即 ln x = ln y，所以 x = y。
提示：严格凸函数等号成立条件为变量相等。
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