新讲 第2章 极 限 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 设 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = a,\lim {y}_{n} = b}$ . 若记

$$ {u}_{n} = \frac{{x}_{1}{y}_{n} + {x}_{2}{y}_{n - 1} + \cdots + {x}_{n}{y}_{1}}{n},\;n = 1,2,\cdots , $$

则有

$$ \lim {u}_{n} = {ab}. $$

💡 答案解析

证明 我们有

$$ {x}_{n} = a + {\alpha }_{n},\;{y}_{n} = b + {\beta }_{n}, $$

这里的 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 于是

$$ {u}_{n} = \frac{\left( {a + {\alpha }_{1}}\right) \left( {b + {\beta }_{n}}\right) + \cdots + \left( {a + {\alpha }_{n}}\right) \left( {b + {\beta }_{1}}\right) }{n} $$

$$ = {ab} + \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n}b + a\frac{{\beta }_{1} + \cdots + {\beta }_{n}}{n} $$

$$ + \frac{{\alpha }_{1}{\beta }_{n} + \cdots + {\alpha }_{n}{\beta }_{1}}{n}\text{ . } $$

无穷小序列也是有界序列, 可设

$$ \left| {\beta }_{n}\right| \leq L,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$

因为

$$ \left| \frac{{\alpha }_{1}{\beta }_{n} + \cdots + {\alpha }_{n}{\beta }_{1}}{n}\right| \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n} \cdot L, $$

所以

$$ \left\{ \frac{{\alpha }_{1}{\beta }_{n} + \cdots + {\alpha }_{n}{\beta }_{1}}{n}\right\} $$

是无穷小序列. 又因为

$$ \left\{ {\frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n}b}\right\} ,\;\left\{ {a\frac{{\beta }_{1} + \cdots + {\beta }_{n}}{n}}\right\} $$

也都是无穷小序列, 所以

$$ \lim {u}_{n} = {ab}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：引入无穷小序列表示xn和yn
设 xn = a + αn, yn = b + βn，其中 {αn} 和 {βn} 是无穷小序列（即极限为0）。
公式：x_n = a + α_n, y_n = b + β_n
提示：利用极限定义，将收敛数列表示为极限加无穷小。
步骤 2/5
目标：将un用αn和βn表示并展开
将 xn 和 yn 的表达式代入 un 的定义，展开并分组：un = ( (a+α1)(b+βn) + ... + (a+αn)(b+β1) ) / n = ab + ( (α1+...+αn)/n ) b + a ( (β1+...+βn)/n ) + (α1βn + ... + αnβ1)/n。
公式：u_n = ab + \frac{\sum_{i=1}^n α_i}{n} b + a \frac{\sum_{i=1}^n β_i}{n} + \frac{\sum_{i=1}^n α_i β_{n+1-i}}{n}
提示：注意求和下标对应关系，确保展开正确。
步骤 3/5
目标：证明最后一项是无穷小
由于 {βn} 是无穷小，故有界，设 |βn| ≤ L。则 |(α1βn + ... + αnβ1)/n| ≤ (|α1|+...+|αn|)/n * L。因为 {αn} 是无穷小，其算术平均也是无穷小，所以最后一项趋于0。
公式：\left|\frac{\sum_{i=1}^n α_i β_{n+1-i}}{n}\right| \leq \frac{\sum_{i=1}^n |α_i|}{n} \cdot L
提示：利用有界性和算术平均的极限性质。
步骤 4/5
目标：证明前两项是无穷小
由于 {αn} 和 {βn} 是无穷小，它们的算术平均也是无穷小，乘以常数 b 和 a 后仍是无穷小。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{i=1}^n α_i}{n} = 0, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{i=1}^n β_i}{n} = 0
提示：算术平均的极限性质：若数列趋于0，则其算术平均也趋于0。
步骤 5/5
目标：综合结论
un 等于 ab 加上三个无穷小项，因此 un 的极限为 ab。
公式：\lim_{n\to\infty} u_n = ab
提示：有限个无穷小之和仍为无穷小。

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