新讲 第8章 利用导数研究函数 第1题
📝 题目
例 1 设 $a > 0$ . 试写出用牛顿法求算术平方根 $\sqrt{a}$ 的迭代公式.
💡 答案解析
解 记 $f\left( x\right) = {x}^{2} - a$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {2x} > 0,\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 2 > 0,\;\forall x > 0. $$
用牛顿法求解方程 ${x}^{2} - a = 0$ 的迭代公式应为:
$$ {x}_{n} = {x}_{n - 1} - \frac{f\left( {x}_{n - 1}\right) }{{f}^{\prime }\left( {x}_{n - 1}\right) } $$
$$ = {x}_{n - 1} - \frac{{x}_{n - 1}^{2} - a}{2{x}_{n - 1}} $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n - 1} + \frac{a}{{x}_{n - 1}}}\right) . $$
在第二章 §3 的
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义函数
令 f(x) = x^2 - a，则求 √a 等价于求 f(x)=0 的正根。
公式：f(x) = x^2 - a
提示：选择函数时，确保根对应所求值。
步骤 2/5
目标：验证导数条件
计算 f'(x)=2x>0，f''(x)=2>0，对于 x>0 成立，满足牛顿法收敛条件。
公式：f'(x)=2x, f''(x)=2
提示：牛顿法要求函数在根附近光滑且导数不为零。
步骤 3/5
目标：写出牛顿迭代公式
牛顿法迭代公式为 x_n = x_{n-1} - f(x_{n-1})/f'(x_{n-1})。
公式：x_n = x_{n-1} - f(x_{n-1})/f'(x_{n-1})
提示：这是牛顿法的标准形式。
步骤 4/5
目标：代入函数和导数
代入 f(x)=x^2-a 和 f'(x)=2x，得到 x_n = x_{n-1} - (x_{n-1}^2 - a)/(2x_{n-1})。
公式：x_n = x_{n-1} - (x_{n-1}^2 - a)/(2x_{n-1})
提示：注意代数运算的准确性。
步骤 5/5
目标：化简迭代公式
化简得 x_n = (1/2)(x_{n-1} + a/x_{n-1})。
公式：x_n = (1/2)(x_{n-1} + a/x_{n-1})
提示：这是求算术平方根的经典牛顿迭代公式。
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