新讲 第8章 利用导数研究函数 第2题
📝 题目
例 2 试用牛顿法解方程
$$ x\ln x - 1 = 0. $$
💡 答案解析
解 记 $f\left( x\right) = x\ln x - 1$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \ln x + 1,\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{1}{x}. $$
容易看出,在(0,1)中 $f\left( x\right) < 0$ ,因而方程无根. 对于 $x \geq 1$ ,因为 ${f}^{\prime }\left( x\right) > 0$ ,所以方程 $f\left( x\right) = 0$ 至多只能有一个根. 又因为
$$ f\left( 1\right) = - 1 < 0, $$
$$ f\left( 2\right) = 2\ln 2 - 1 $$
$$ = \ln 4 - 1 > 0\text{ , } $$
所以方程 $f\left( x\right) = 0$ 的唯一根在开区间(1,2)之中. 我们用牛顿法近似求这个根. 因为 $f\left( 2\right)$ 与 ${f}^{\prime \prime }\left( 2\right)$ 同号,所以可取 ${x}_{0} = 2$ . 牛顿法的迭代公式为
$$ {x}_{n + 1} = {x}_{n} - \frac{f\left( {x}_{n}\right) }{{f}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) } $$
$$ = {x}_{n} - \frac{{x}_{n}\ln {x}_{n} - 1}{\ln {x}_{n} + 1} $$
$$ = \frac{{x}_{n} + 1}{\ln {x}_{n} + 1}. $$
从 ${x}_{0} = 2$ 开始,逐次迭代得
$$ {x}_{1} = \frac{3}{\ln 2 + 1} = {1.77185}, $$
$$ {x}_{2} = \frac{2.77185}{\ln {1.77185} + 1} = {1.76324}, $$
$$ {x}_{3} = \frac{2.76324}{\ln {1.76324} + 1} = {1.76323}. $$
我们利用定理 3 来估计误差, 因为
$$ m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {1,2}\right\rbrack }}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| = 1, $$
所以
$$ \left| {{x}_{3} - c}\right| \leq \left| {f\left( {x}_{3}\right) }\right| \leq {0.00000026}. $$
我们只迭代了三次就达到相当高的精确度.