新讲 第9章 定积分的进一步讨论 第2题
📝 题目
例 2 黎曼函数定义为
$$ R\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{q}, & \text{ 如果 }x = \frac{p}{q}\left( {q > 0}\right) \text{ 是既约分数, } \\ 0, & \text{ 如果 }x\text{ 是无理数. } \end{array}\right. $$
我们来证明函数 $R$ 在任何闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积.
💡 答案解析
证明 设 $\varepsilon$ 是任意正数. 考察闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的所有的既约分数 $\frac{p}{q}\left( {q > 0}\right)$ ,我们可以断定: 在这些既约分数里,至多有有限多个能
够使得
$$ \frac{1}{q} \geq \frac{\varepsilon }{2\left( {b - a}\right) }. $$
把这些有限个既约分数记为
$$ {r}_{1},\cdots ,{r}_{l}\text{ . } $$
取 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 的分割 $P$ ,使得
$$ \left| P\right| < \frac{\varepsilon }{4l}. $$
对这个分割 $P$ ,我们把 $\Omega \left( {R,P}\right)$ 分成两部分:
$$ \Omega \left( {R,P}\right) = \mathop{\sum }\limits_{i}^{\prime }{\omega }_{i}\Delta {x}_{i} + \mathop{\sum }\limits_{j}^{{\prime \prime }}{\omega }_{j}\Delta {x}_{j}, $$
其中 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits^{\prime }{\omega }_{i}\Delta {x}_{i}}$ 所涉及的子区间 $\left\lbrack {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack$ 上不含有任何一个 ${r}_{k}$ , 而 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits^{{\prime \prime }}{\omega }_{j}\Delta {x}_{j}}$ 所涉及的子区间 $\left\lbrack {{x}_{j - 1},{x}_{j}}\right\rbrack$ 上含有 ${r}_{k}$ . 因为 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits^{{\prime \prime }}}$ 的加项不超过 ${2l}$ 个,所以
$$ \Omega \left( {R,P}\right) = \mathop{\sum }\limits_{i}^{\prime }{\omega }_{i}\Delta {x}_{i} + \mathop{\sum }\limits_{j}^{{\prime \prime }}{\omega }_{j}\Delta {x}_{j} $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2\left( {b - a}\right) }\mathop{\sum }\limits_{i}^{\prime }\Delta {x}_{i} + \mathop{\sum }\limits_{j}^{{\prime \prime }}\Delta {x}_{j} $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2\left( {b - a}\right) }\left( {b - a}\right) + {2l}\left| P\right| $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon . $$
这就证明了黎曼函数 $R$ 的可积性.