新讲 第10章 广义积分 第5题
📝 题目
解 该积分既是无穷限积分, 在 0 点又有一个瑕点. 要判断它的收敛性, 应分别考察以下两个积分是否收敛:
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x,\;{\int }_{0}^{1}\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x. $$
我们已知道前一积分是绝对收敛的 (见本节上一段中的
💡 答案解析
解 该积分既是无穷限积分, 在 0 点又有一个瑕点. 要判断它的收敛性, 应分别考察以下两个积分是否收敛:
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x,\;{\int }_{0}^{1}\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x. $$
我们已知道前一积分是绝对收敛的 (见本节上一段中的
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分类型
该积分∫₀^∞ sin x/(x√x) dx 既是无穷限积分（上限无穷），又在x=0处有瑕点（被积函数在x→0+时趋于无穷），因此需要分别考察∫₁^∞ sin x/(x√x) dx 和 ∫₀¹ sin x/(x√x) dx 的收敛性。
提示：注意积分限的分割点通常选在1，便于比较判别法。
步骤 2/4
目标：判断无穷限积分∫₁^∞ sin x/(x√x) dx 的收敛性
由于|sin x/(x√x)| ≤ 1/(x√x) = x^{-3/2}，而∫₁^∞ x^{-3/2} dx 收敛（p=3/2>1），由比较判别法知原积分绝对收敛，从而收敛。
公式：|sin x/(x√x)| ≤ 1/(x√x) = x^{-3/2}
提示：常用绝对值不等式放缩，然后与p-积分比较。
步骤 3/4
目标：判断瑕积分∫₀¹ sin x/(x√x) dx 的收敛性
当x→0+时，sin x ~ x，因此 sin x/(x√x) ~ x/(x√x) = 1/√x = x^{-1/2}，而∫₀¹ x^{-1/2} dx 收敛（p=1/2<1），由比较判别法知原瑕积分绝对收敛。
公式：sin x ~ x (x→0)，故 sin x/(x√x) ~ 1/√x
提示：注意瑕点处使用等价无穷小简化。
步骤 4/4
目标：综合结论
由于两部分积分都绝对收敛，因此原积分∫₀^∞ sin x/(x√x) dx 绝对收敛。
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