新讲 第10章 广义积分 第9题

解 对于 $0 < p < 1$ ,因为 $\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \leq \frac{1}{{x}^{p}}$ ,所以这时积分

$$ {\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x $$

绝对收敛.

对于 $1 \leq p < 2$ ,因为函数 $f\left( x\right) = {x}^{2 - p}$ 当 $x \rightarrow 0 +$ 时单调趋于 0,

而函数 $g\left( x\right) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}$ 满足

$$ \left| {{\int }_{\eta }^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| \leq \left| {\cos 1 - \cos \frac{1}{\eta }}\right| \leq 2, $$

所以积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}{x}^{2 - p}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$

收敛. 我们指出,对这种情形,绝对值的积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \mathrm{d}x}$ 是发散的. 容易验证

$$ \left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \geq \frac{{\sin }^{2}\frac{1}{x}}{{x}^{p}} = \frac{1}{2{x}^{p}} - \frac{\cos \frac{2}{x}}{2{x}^{p}}. $$

通过与上面所述的相类似的讨论, 可以说明: 对这种情形 (即 $1 \leq p < 2$ 的情形),积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\cos \frac{2}{x}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛. 又容易看出,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{2{x}^{p}}}$ 是发散的. 这样, 我们证明了积分

$$ {\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{2{x}^{p}} - \frac{\cos \frac{2}{x}}{2{x}^{p}}}\right) \mathrm{d}x $$

是发散的. 因而积分

$$ {\int }_{0}^{1}\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{p}}\right| \mathrm{d}x $$

也是发散的.

最后来考察 $p = 2$ 的情形. 因为

$$ {\int }_{\eta }^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \cos 1 - \cos \frac{1}{\eta }, $$

当 $\eta \rightarrow 0 +$ 时上式无极限,所以积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin \frac{1}{x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 发散.

\part{第四篇多元微积分}