新讲 第11章 多维空间 第4题
📝 题目
例 4 考察二元函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$
试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.
💡 答案解析
解 对于 $\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right)$ ,有以下不等式成立:
$$ \left| {f\left( {x,y}\right) - 0}\right| = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}} \leq {x}^{2}. $$
对任给的 $\varepsilon > 0$ ,只要
$$ 0 < \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} < \delta = \sqrt{\varepsilon }, $$
就有
$$ \left| {f\left( {x,y}\right) - 0}\right| \leq {x}^{2} \leq {x}^{2} + {y}^{2} < \varepsilon . $$
这证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}f\left( {x,y}\right) = 0. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立不等式估计
对于 (x,y) ≠ (0,0)，利用 x²y² ≤ (x²+y²)x² 或直接放缩：|f(x,y)-0| = x²y²/(x²+y²) ≤ x²，因为 y²/(x²+y²) ≤ 1。
公式：|f(x,y)-0| = x²y²/(x²+y²) ≤ x²
提示：注意分母非零，且 y²/(x²+y²) ≤ 1，因此分子小于等于 x²(x²+y²)，但更简单的放缩是直接使用 x²y² ≤ (x²+y²)x²。
步骤 2/3
目标：根据ε-δ定义证明极限为0
对任意 ε>0，取 δ=√ε。当 0<√(x²+y²)<δ 时，有 |f(x,y)-0| ≤ x² ≤ x²+y² < δ² = ε。
公式：0 < √(x²+y²) < δ = √ε ⇒ |f(x,y)-0| < ε
提示：注意 x² ≤ x²+y²，因此只需 x²+y² < ε 即可，而 x²+y² = (√(x²+y²))² < δ² = ε。
步骤 3/3
目标：得出结论
由ε-δ定义，极限存在且为0。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0
提示：也可用极坐标或夹逼准则，但此处直接放缩更简洁。
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