新讲 第11章 多维空间 第5题
📝 题目
例 5 考察二元函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$
试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.
💡 答案解析
解 我们在 ${\mathbb{R}}^{2} \smallsetminus \{ \left( {0,0}\right) \}$ 中选择点的序列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ ,使它沿直线 $y = {\alpha x}$ 趋于(0,0). 例如可取
$$ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) = \left( {\frac{1}{n},\frac{\alpha }{n}}\right) ,\;n = 1,2,\cdots . $$
对这样选取的点列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ ,我们有
$$ f\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) = \frac{{x}_{n}{y}_{n}}{{x}_{n}^{2} + {y}_{n}^{2}} $$
$$ = \frac{\frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}}{1 + {\left( \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}\right) }^{2}} = \frac{\alpha }{1 + {\alpha }^{2}}. $$
当点列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ 沿不同斜率的直线 $y = {\alpha x}$ 趋于原点(0,0)时,相应的函数值序列
$$ \left\{ {f\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) }\right\} $$
趋于不同的极限 (例如对于 $\alpha = 1$ ,有 $\frac{\alpha }{1 + {\alpha }^{2}} = \frac{1}{2}$ ; 对于 $\alpha = 2$ , $\left. {\frac{\alpha }{1 + {\alpha }^{2}} = \frac{2}{5}}\right)$ . 因而,当 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时,函数 $f\left( {x,y}\right)$ 没有极限.