新讲 第12章 多元微分学 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 中, 我们求得

$$ {\varphi }^{\left( k\right) }\left( t\right) = {\left( {h}_{1}\frac{\partial }{\partial {x}_{1}} + \cdots + {h}_{m}\frac{\partial }{\partial {x}_{m}}\right) }^{k}f\left( {a + {th}}\right) . $$

利用这计算结果, 就得到多元函数的泰勒公式

$$ f\left( {a + h}\right) = {T}_{n} + {R}_{n + 1}, $$

这里

$$ {T}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\frac{1}{p!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{p}f\left( a\right) , $$

而余项 ${R}_{n + 1}$ 可以表示为

$$ {R}_{n + 1} = \frac{1}{\left( {n + 1}\right) !}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n + 1}f\left( {a + {\theta h}}\right) $$

$$ \left( {0 < \theta < 1}\right) \text{ , } $$

或者

$$ {R}_{n + 1} = \frac{1}{n!}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - t\right) }^{n}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n + 1}f\left( {a + {th}}\right) \mathrm{d}t. $$

定理 5 设函数 $f\left( x\right) = f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{m}}\right)$ 在点 $a = \left( {{a}_{1},\cdots ,{a}_{m}}\right)$ 邻近 $n$ 阶连续可微,则有

$$ f\left( {a + h}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\frac{1}{p!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{p}f\left( a\right) + o\left( {\parallel h{\parallel }^{n}}\right) . $$

这样的表示式被称为带小 $o$ 余项 (或佩亚诺型余项) 的泰勒公式.

💡 答案解析

证明 根据定理 4 , 有这样的展式:

$$ f\left( {a + h}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{{n - 1}}\frac{1}{p!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{p}f\left( a\right) + {R}_{n}, $$

$$ {R}_{n} = \frac{1}{n!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n}f\left( {a + {\theta h}}\right) \;\left( {0 < \theta < 1}\right) . $$

由于各 $n$ 阶偏导数的连续性,对于

$$ {\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{m} = n,\;{\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{m}\text{ 为非负整数 } $$

应有

$$ \frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}}f\left( {a + {\theta h}}\right) = \frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}}f\left( a\right) + o\left( 1\right) . $$

又显然有

$$ {h}_{1}^{{a}_{1}}\cdots {h}_{m}^{{a}_{m}} = O\left( {\parallel h{\parallel }^{{a}_{1}}}\right) \cdots O\left( {\parallel h{\parallel }^{{a}_{m}}}\right) = O\left( {\parallel h{\parallel }^{n}}\right) . $$

所以

$$ {h}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots {h}_{m}^{{\alpha }_{m}}\frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{\alpha }_{m}}}f\left( {a + {\theta h}}\right) $$

$$ = {h}_{1}^{{a}_{1}}\cdots {h}_{m}^{{a}_{m}}\left( {\frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}}f\left( a\right) + o\left( 1\right) }\right) $$

$$ = {h}_{1}^{{a}_{1}}\cdots {h}_{m}^{{a}_{m}}\frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}}f\left( a\right) + o\left( {\parallel h{\parallel }^{n}}\right) . $$

由此得到

$$ {R}_{n} = \frac{1}{n!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n}f\left( a\right) + o\left( {\parallel h{\parallel }^{n}}\right) . $$

采用重指标记号可以把多元函数的泰勒公式写成更紧凑的形式. 下面, 我们来介绍这种表示法.

设 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{m}$ 是非负整数,我们把

$$ \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{m}}\right) $$

叫作以 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{m}$ 为分量的一个重指标,并约定

$$ \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{m}, $$

$$ \alpha ! = {\alpha }_{1}!{\alpha }_{2}!\cdots {\alpha }_{m}!. $$

对于 $h = \left( {{h}_{1},{h}_{2},\cdots ,{h}_{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}$ ,我们约定

$$ {h}^{a} = {h}_{1}^{{a}_{1}}{h}_{2}^{{a}_{2}}\cdots {h}_{m}^{{a}_{m}}. $$

我们还约定

$$ {\partial }^{a} = \frac{{\partial }^{\left| a\right| }}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\partial {x}_{2}^{{a}_{2}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}}. $$

采用这些记号, 我们写出

$$ \frac{1}{p!}{\left( {h}_{1}\frac{\partial }{\partial {x}_{1}} + \cdots + {h}_{m}\frac{\partial }{\partial {x}_{m}}\right) }^{p} $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{{a}_{1} + \cdots + {a}_{m} = p}}\frac{{h}_{1}^{{a}_{1}}\cdots {h}_{m}^{{a}_{m}}}{{\alpha }_{1}!\cdots {\alpha }_{m}!}\frac{{\partial }^{p}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\cdots \partial {x}_{m}^{{a}_{m}}} $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = p}}\frac{{h}^{\alpha }}{\alpha !}{\partial }^{\alpha }. $$

于是,我们可以把 $m$ 元函数的泰勒公式写成更紧凑的形式

$$ f\left( {a + h}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = p}}\frac{1}{\alpha !}{\partial }^{\alpha }f\left( a\right) {h}^{\alpha } + {R}_{n + 1} $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| = 0}}^{n}\frac{1}{\alpha !}{\partial }^{a}f\left( a\right) {h}^{a} + {R}_{n + 1} $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq n}}\frac{1}{\alpha !}{\partial }^{a}f\left( a\right) {h}^{a} + {R}_{n + 1}. $$

余项 ${R}_{n + 1}$ 可以表示为

$$ {R}_{n + 1} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| = n + 1}}\frac{1}{\beta !}{\partial }^{\beta }f\left( {a + {\theta h}}\right) {h}^{\beta } $$

$$ \left( {0 < \theta < 1}\right) \text{ , } $$

或者

$$ {R}_{n + 1} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| = n + 1}}\frac{n + 1}{\beta !}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - t\right) }^{n}{\partial }^{\beta }f\left( {a + {th}}\right) \mathrm{d}t{h}^{\beta }. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：回顾已知结果
由例6已知 φ^(k)(t) = (h1 ∂/∂x1 + ... + hm ∂/∂xm)^k f(a+th)。
公式：φ^(k)(t) = (∑ hi ∂/∂xi)^k f(a+th)
提示：这是将一元函数泰勒公式推广到多元的基础。
步骤 2/6
目标：写出带拉格朗日余项的泰勒公式
根据定理4，对一元函数φ(t)=f(a+th)应用泰勒公式，得到f(a+h)=∑_{p=0}^{n-1} (1/p!) φ^(p)(0) + (1/n!) φ^(n)(θ)，其中0<θ<1。代入φ^(p)(0)和φ^(n)(θ)的表达式即得。
公式：f(a+h) = ∑_{p=0}^{n-1} (1/p!)(∑ hi ∂/∂xi)^p f(a) + (1/n!)(∑ hi ∂/∂xi)^n f(a+θh)
提示：注意θ依赖于h和a。
步骤 3/6
目标：利用连续性将余项转化为佩亚诺型
由于各n阶偏导数连续，有∂^α f(a+θh) = ∂^α f(a) + o(1)。又h^α = O(‖h‖^n)，因此(∑ hi ∂/∂xi)^n f(a+θh) = (∑ hi ∂/∂xi)^n f(a) + o(‖h‖^n)。代入余项得R_n = (1/n!)(∑ hi ∂/∂xi)^n f(a) + o(‖h‖^n)。
公式：R_n = (1/n!)(∑ hi ∂/∂xi)^n f(a) + o(‖h‖^n)
提示：这里o(‖h‖^n)表示高阶无穷小。
步骤 4/6
目标：引入重指标记号
定义重指标α=(α1,...,αm)，|α|=α1+...+αm，α!=α1!...αm!，h^α=h1^α1...hm^αm，∂^α=∂^{|α|}/∂x1^α1...∂xm^αm。则(∑ hi ∂/∂xi)^p = ∑_{|α|=p} (p!/α!) h^α ∂^α。
公式：(∑ hi ∂/∂xi)^p = ∑_{|α|=p} (p!/α!) h^α ∂^α
提示：注意系数p!/α!来自多项式展开。
步骤 5/6
目标：写出紧凑形式的泰勒公式
将重指标代入，得f(a+h)=∑_{p=0}^n ∑_{|α|=p} (1/α!) ∂^α f(a) h^α + R_{n+1}，即∑_{|α|≤n} (1/α!) ∂^α f(a) h^α + R_{n+1}。
公式：f(a+h) = ∑_{|α|≤n} (1/α!) ∂^α f(a) h^α + R_{n+1}
提示：这是多元泰勒公式的标准形式。
步骤 6/6
目标：给出余项的两种表达式
拉格朗日余项：R_{n+1}=∑_{|β|=n+1} (1/β!) ∂^β f(a+θh) h^β，0<θ<1。积分余项：R_{n+1}=∑_{|β|=n+1} ((n+1)/β!) ∫_0^1 (1-t)^n ∂^β f(a+th) dt h^β。
公式：R_{n+1}=∑_{|β|=n+1} (1/β!) ∂^β f(a+θh) h^β 或 R_{n+1}=∑_{|β|=n+1} ((n+1)/β!) ∫_0^1 (1-t)^n ∂^β f(a+th) dt h^β
提示：积分余项可由一元函数积分余项推导。

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