新讲 第12章 多元微分学 第2题
📝 题目
例 2 在周长等于给定常数 ${2p}$ 的三角形当中,什么样的三角形面积最大?
💡 答案解析
解 用 $x,y,z$ 分别表示三角形三边的边长. 根据海伦公式,三角形的面积可以表示为
$$ S = \sqrt{p\left( {p - x}\right) \left( {p - y}\right) \left( {p - z}\right) }. $$
考察目标函数
$$ f\left( {x,y,z}\right) = \left( {p - x}\right) \left( {p - y}\right) \left( {p - z}\right) $$
和约束条件
$$ g\left( {x,y,z}\right) = x + y + z - {2p} = 0. $$
我们来求 $f$ 在条件 $g = 0$ 约束下的最大值. 在这里,很容易从约束条件中解出
$$ z = {2p} - x - y. $$
于是, 问题转化为求以下函数的普通最大值:
$$ \varphi \left( {x,y}\right) = \left( {p - x}\right) \left( {p - y}\right) \left( {x + y - p}\right) . $$
计算这函数的导数得到
$$ \frac{\partial \varphi }{\partial x}\left( {x,y}\right) = \left( {p - y}\right) \left( {{2p} - {2x} - y}\right) , $$
$$ \frac{\partial \varphi }{\partial y}\left( {x,y}\right) = \left( {p - x}\right) \left( {{2p} - x - {2y}}\right) . $$
考察以下集合 (见图 12-3)
$$ D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2} \mid 0 < x,y < p,x + y > p}\right\} . $$
函数 $\varphi$ 在有界闭集 $\bar{D}$ 连续,因而它在 $\bar{D}$ 上一定取得最大值. 但在 $\bar{D}$ 的边界上,函数 $\varphi$ 的值总是 0,所以这最大值一定在 $D$ 内取得. 函数 $\varphi$ 在 $D$ 内仅有的临界点为
$$ \left( {\frac{2}{3}p,\frac{2}{3}p}\right) $$
我们断定:当 $x = y = \frac{2}{3}p$ 时,函数 $\varphi$ 取得它在 $\bar{D}$ 上的最大值. 这就是说: 在周长等于给定常数 ${2p}$ 的三角形当中,等边三角形具有最大的面积
$$ S = \frac{\sqrt{3}}{9}{p}^{2}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/054.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 12-3