新讲 第12章 多元微分学 第3题
📝 题目
例 3 总和等于常数 $C\left( {C > 0}\right)$ 的 $n$ 个非负实数,它们的乘积 $P$ 最大为多少?
💡 答案解析
解 这里的目标函数为
$$ P\left( x\right) = {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}, $$
约束条件为
$$ Q\left( x\right) = {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n} - C = 0. $$
从约束条件容易解出
$$ {x}_{n} = C - {x}_{1} - {x}_{2} - \cdots - {x}_{n - 1}. $$
于是问题转化为求以下函数的普通最大值:
$$ \varphi \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n - 1}}\right) $$
$$ = {x}_{1}\cdots {x}_{n - 1}\left( {C - {x}_{1} - \cdots - {x}_{n - 1}}\right) . $$
与上一例题的情形类似, 很容易求得, 当
$$ {x}_{1} = \cdots = {x}_{n - 1} = \frac{C}{n} $$
的时候,函数 $\varphi \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n - 1}}\right)$ 取得最大值. 这就是说,当
$$ {x}_{1} = \cdots = {x}_{n - 1} = {x}_{n} = \frac{C}{n} $$
的时候,目标函数 $P\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n - 1},{x}_{n}}\right)$ 在约束条件下取得最大值
$$ {P}_{\max } = {\left( \frac{C}{n}\right) }^{n} = {\left( \frac{{x}_{1} + \cdots + {x}_{n}}{n}\right) }^{n}. $$
也可以用拉格朗日待定乘数法来解这道题. 我们写出辅助函数
$$ F\left( {x,\lambda }\right) = P\left( x\right) + {\lambda Q}\left( x\right) . $$
然后考察以下方程组 (记号 ${\widehat{x}}_{i}$ 表示把 ${x}_{i}$ 这个因子换成数 1):
$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial F}{\partial {x}_{i}} = {x}_{1}\cdots {\widehat{x}}_{i}\cdots {x}_{n} + \lambda = 0,\;i = 1,2,\cdots ,n, \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda } = {x}_{1} + \cdots + {x}_{n} - C = 0. \end{array}\right. \tag{10.18} $$
如果某一个因数 ${x}_{i} = 0$ ,那么乘积 $P\left( x\right) = 0$ . 这显然不是最大值. 因此,我们可以只限于考察 ${x}_{1} > 0,\cdots ,{x}_{n} > 0$ 的情形. 对这情形,从方程组 (10.18) 可以解出
$$ {x}_{1} = \cdots = {x}_{n} = \frac{C}{n}. $$
于是,在所述的条件约束之下,目标函数 $P$ 的最大值是
$$ {P}_{\max } = {\left( \frac{C}{n}\right) }^{n} = {\left( \frac{{x}_{1} + \cdots + {x}_{n}}{n}\right) }^{n}. $$
不论用哪一种方法, 我们都得到了算术平均与几何平均不等式的新的证明.